Детерминированный эквивалент стохастической задачи




Стохастические задачи, математические модели которых представлены в виде (2), непосредственно решены быть не могут. Как правило, задачи со случайной исходной информацией сводят к их детерминированному эквиваленту. Для этого случайные величины заменяются их характеристиками (математическим ожиданием, стандартным отклонением) и считается, что случайная величина имеет нормальный закон распределения.

Если случайными величинами являются коэффициенты z i целевой функции, эти коэффициенты заменяются их математическими ожиданиями. В результате такой замены получим детерминированный эквивалент целевой функции

М [ Z ] = M [ z 1] x 1+ M [ z 2] x 2+… M [ z n] x n → extr. (3)

Для каждого j -го ограничения задается вероятность Р зад j, с которой должно выполняться это ограничение. По значению Р зад j находится значение стандартной случайной величины η. С учетом соотношения (1) осуществляется переход от стандартной случайной величины η к случайным величинам оптимизационной задачи а ij и b j.

Если случайной величиной являются коэффициенты b j, то детерминированный эквивалент j -го ограничения будет иметь вид

a j1 x 1+ a j2 x 2+...+ a jn < M [ b j] + ησ[ b j], j =1,2,… m. (4)

Если случайной величиной являются коэффициенты а ij, то детерминированный эквивалент j -го ограничения будет иметь вид

М [ a j1] x 1+ M [ a j2] x 2+...+ M [ a jn] x n+η(σ[ a j1] x 1+σ[ a j2] x 2+…+σ[ a jn] x n) < b j,

j =1,2,… m. (5)

Граничные условия остаются без изменения в виде

d i < х i < D i, i = 1, 2,... n.

Таким образом, математическая модель стохастической задачи сводится к детерминированному эквиваленту (3), (4) и (5).

Следует отметить, что в основной массе стохастических задач далеко не все коэффициенты z i, a ji и b j (i =1,2,… n; j =1,2,… m) могут быть случайными величинами. Частотакими величинами могут быть один или несколько коэффициентов.

Пример 1. Составить математическую модель задачи распределения ресурсов для случая, когда количество сырьевого ресурса на предприятии является случайной величиной. Известна поставка сырья за некоторый предыдущий период.

Решение. Ранее была получена следующая детерминированная математическая модель задачи:

Z = 8 x 1 + 11 x2+ 12 x3 → max;

2 х 1+ 2 х 2 + 3 х 3 < 50,

6 х 1+ 5,5 х 2 +4 х 3 < 100,

4 х 1+ 6 х 2 + 8 х 3 < 150,

х 1 + х2+ х3 > 15;

xi > 0, i = 1, 2, 3.

Условие целочисленности переменных:

xi – целое, i = 1, 2, 3.

В поставленной задаче коэффициент b 3 (количество сырьевого ресурса) является случайной величиной.

Поставка сырья за некоторый предыдущий период представлена в виде табл.

Таблица 1.

День             M [ b 3] σ[ b 3]
Поставка сырья, е.с.               23,9

a 31 x 1 +a 32 x2+a 33 x3 < M [ b 3] + ησ[ b 3]

или

4 x 1 + 6 x2+ 8 x3 < 150 +η23,9.

Зададимся вероятностями выполнения 3-го ограничения Р зад 3 = 0,4; 0,5 и 0,6.

Тогда в соответствии с рис. 6.1 стандартная случайная величина будет соответственно равна η = - 0,25; 0 и 0,25. Рассматриваемое 3-е ограничение будет иметь вид

4 x 1 + 6 x2+ 8 x3 < 150 - 0,25 . 23,9

или

4 x 1 + 6 x2+ 8 x3 < 150

или

4 x 1 + 6 x2+ 8 x3 < 150 + 0,25 . 23,9.

Видно, что при вероятностных исходных данных в ограничении появляется дополнительный сырьевой ресурс. Величина и знак этого дополнительного ресурса зависят от Р зад 3 задаваемой вероятности выполнения ограничения.

Полученный детерминированный эквивалент рассматриваемой стохастической задачи имеет следующий вид:

целевая функция

Z = 8 x 1 + 11 x2+ 12 x3 → max;

ограничения

2 х 1+ 2 х 2 + 3 х 3 < 50,

6 х 1+ 5,5 х 2 +4 х 3 < 100,

4 x 1 + 6 x2+ 8 x3 < 150 + η23,9;

х 1 + х2+ х3 > 15;

условие целочисленности

xi – целое;

граничные условия

xi > 0, i = 1, 2, 3.

Решение этой стохастической задачи полностью аналогично решению линейной целочисленной задачи, приведенному в приложении П.2.

Задание

В проектируемой системе электроснабжения имеется 2 узла источников питания и 3 узла потребителей. Мощности источников составляют A 1и A2, а мощности потребителей B 3, B 4и B 5. Удельные затраты на передачу мощностей по линиям между узлами составляют z 13, z 14, z 15, z 23, z 24, z 25.

Рис. 1. Взаимное расположение узлов и возможные к сооружению линии электрической сети

Требуется:

1) Найти оптимальную схему электрической сети.

2) Найти оптимальную схему электрической сети для случая, когда значениемощности источникаA1 является случайной величиной.

3) Найти оптимальную схему электрической сети для случая, когда значениемощностипотребителя B3является случайной величиной.

4) Найти оптимальную схему электрической сети для случая, когда значения удельных затрат z13является случайной величиной.

 

Примечание: принять вероятность выполнения ограничений Р зад = 0,95.

 

Таблица 1. Случайные значения мощности источника A1

Случай            
Мощность источника            

 

Таблица 2. Случайные значения мощности потребителя B3

Случай            
Мощность потребителя            

Таблица 3. Случайные значения удельных затрат z13

Случай            
Удельные затраты z            

Таблица 4. Варианты заданий

N A 1 A2 B 3 B 4 B 5 z 13 z 14 z 15 z 23 z 24 z 25 z 34 z 45 z 35
                             
                             
                             
                             
                             
                             
                             
                             
                             
                             
                             
                             
                             
                             
                             
                             
                             
                             
                             
                             
                             
                             
                             
                             
                             
                             
                             
                             
                             
                             

Контрольные вопросы:

1. Приведите основные характеристики случайных величин.

2. Покажите применение нормального стандартного закона распределения при решении практических задач.

3. Приведите математическую модель для стохастической задачи.

4. Приведете детерминированный эквивалент стохастической задачи.

 



Поделиться:




Поиск по сайту

©2015-2024 poisk-ru.ru
Все права принадлежать их авторам. Данный сайт не претендует на авторства, а предоставляет бесплатное использование.
Дата создания страницы: 2017-11-22 Нарушение авторских прав и Нарушение персональных данных


Поиск по сайту: