Указания к выполнению КР2

определить величину и направление неизвестного крутящего момента M₀.

Для этого необходимо вал разбить на участки. Границами участков являются сечения, в которых приложены крутящие моменты (в настоящем задании расчетная схема состоит из 4- х участков).

4. Начинать рассматривать вал можно с любой стороны с учетом знака каждого крутящего момента. (крутящий момент считается положительным, если при рассматривании со стороны сечения он действует против хода часовой стрелки и наоборот).

5. Используя метод сечений, вычислить величину крутящего момента на каждом участке (величина крутящего момента на каждом участке равна сумме крутящих моментов, действующих по одну сторону от сечения).

6. По полученным результатам необходимо построить эпюру крутящих моментов по длине вала и определить наиболее опасный участок (участок, где действует ).

7. Определить диаметр вала из условия прочности (3.4).

8. На каждом участке вычислить относительнный угол закручивания и сравнить с допускаемым [ Ө ].

9. При необходимости вычислить диаметр вала из условия жесткости.

10. Построить эпюру углов закручивания.

Вопросы для самопроверки

1. Что называется абсолютным и относительным сдвигом?

2. Как формулируется закон Гука при сдвиге?

3. Что характеризует модуль упругости II рода?

4. Запишите формулу условия прочности заклепочного соединения.

5. Какие напряжения возникают в поперечных сечениях круглого вала при кручении?

6. Как производится расчет вала на прочность при кручении?

7. Как строятся эпюры крутящих моментов и углов закручивания?

8. В чем разница между абсолютным и относительным углом закручивания?

9. Как производится расчет вала на жесткость при кручении?

Тема 4. Поперечный изгиб прямого бруса

Эта тема является самой большой и самой сложной, ее следует изучать постепенно.

Изгиб ‒ вид деформации, при котором происходит изменение кривизны продольных осей брусьев. Изгиб связан с возникновением в поперечных сечениях бруса изгибающих моментов и поперечных сил..

Если при изгибе в поперечном сечении бруса действует только изгибающий момент М_x, то соответственно имеется чистый изгиб. Если в поперечном сечении действует также и поперечная сила Q_y, то имеется поперечный изгиб.

Прямой изгиб бруса возникает в случае, когда изгибающий момент в данном поперечном сечении бруса действует в плоскости, проходящей через одну из главных центральных осей инерции этого сечения. В случае, когда плоскость действия изгибающего момента в данном поперечном сечении бруса не проходит ни через одну из главных осей инерции этого сечения, изгиб называется косым.

Таким образом, кривизна изогнутой оси балки связана с изгибающим моментом выражением:

{\displaystyle {\frac {1}{\rho }}={\frac {M_{x}}{EJ_{x}}}} (4.1)

Распределение нормальных напряжений по высоте сечения выражается формулой:

{\displaystyle \sigma ={\frac {M_{x}}{J_{x}}}y} · y (4.2)

{\displaystyle W_{x}={\frac {bh^{2}}{6}}}

{\displaystyle W_{x}={\frac {bh^{2}}{6}}}Максимальное напряжение в сечении выражается формулой:

{\displaystyle \sigma _{max}={\frac {M_{x}}{J_{x}}}{\frac {h}{2}}={\frac {M_{x}}{W_{x}}}} σ_max = · = , (4.3)

{\displaystyle W_{x}={\frac {bh^{2}}{6}}}где {\displaystyle W_{x}={\frac {J_{x}}{\frac {h}{2}}}} ρ ‒ радиус изгиба продольной оси бруса; I_x ‒ момент инерции поперечного сечения бруса; W_x ‒ момент сопротивления сечения изгибу; h ‒ {\displaystyle h} высота сечения балки.

Величины {\displaystyle J_{x}}I_x и {\displaystyle W_{x}}W_x для простых сечений (круглое, прямоугольное) вычисляются аналитически. Для круглого сечения диаметром {\displaystyle d}d:

I_x = ; W_x = (4.4)

{\displaystyle J_{x}={\frac {\pi d^{4}}{64}}}{\displaystyle W_{x}={\frac {\pi d^{3}}{32}}}Для прямоугольного сечения высотой h {\displaystyle h} и шириной {\displaystyle b} b:

{\displaystyle J_{x}={\frac {bh^{3}}{3}}} I_x = ; W_x = (4.5)

{\displaystyle W_{x}={\frac {bh^{2}}{6}}}Для более сложных сечений (швеллер, двутавр), имеющих стандартные размеры, эти величины приведены в справочной литературе.Надо ясно представлять пути увеличения момента сопротивления сечения без увеличения расхода материала.

Изгибающий момент в сечении может быть получен методом сечений.

Для наглядного представления о законах изменения поперечной силы Q_у и изгибающего момента М_x по длине балки удобно изображать их в виде графиков (эпюр), ординаты которых соответствуют значениям поперечных сил и изгибающих моментов в любом ее сечении.

Построение эпюр производится следующим образом.

Линию, параллельную оси балки (ось Z), принимают за ось абсцисс (нулевая линия), от которой в произвольном масштабе откладывают ординаты, соответствующие значениям Q_у или М_х в различных сечениях балки. Соединяя концы отложенных ординат, получаем эпюры Q_у и М_x, соответственно.

Ординаты, выражающие величины положительных Q_у и М_x, принято откладывать вверх от оси Z, а отрицательных – вниз (студенты строительных специальностей положительные величины изгибающих моментов откладывают вниз).

Штриховать эпюры следует только вертикальными линиями, поскольку каждая линия штриховки в принятом масштабе выражает величину Q_у или М_х в данном сечении. Рекомендуется проверять правильность построения эпюр, используя дифференциальную зависимость между Q_у и М_x.

Порядок выполнения работы:

1. Определяют опорные реакции балки.

2. Обозначают характерные сечения (точки) балки. Ими являются: концевые сечения балки, опоры, точки приложения сосредоточенных сил и моментов, начало и конец распределенной нагрузки.

3. Для построения эпюры поперечных сил Q_у определяют значения поперечных сил в характерных точках.

Необходимо помнить, что:

Рис.4.2 Пример построения эпюр поперечных сил и изгибающих моментов для балки, работающей на изгиб.

Σ М_В = 0 М_В = Р(а+b+с+d)+q(b+c)( +d) – V_A(c+d)+M = 0,

Откуда: V_A = = 108,6кН

Проверка: ΣР_у = 0 –15–20(1+ 5) +108,6 +26,4 = 0

Построение эпюры Q:

Q_C = Q_D = – P = – 15кН;

Q_{A лев} = – P – qb= – 15– 20·1= – 35кH;

Q_Aправ = – V_B + qc = – 26,4 + 20·5 = 73,6кН;

Q_E =Q_{B лев} = – V_B = – 26,4кН;

Q_{B прав} = Q_К = 0

Строим эпюру Q_у, откладывая положительные значения ординат вверх от оси Z, а отрицательные - вниз (рис.4.2б).

Из графических построений видно, что на участке АЕ эпюра Q_y пересекает продольную ось балки в точке R. Из подобия треугольников, образовавшихся на этом участке эпюры Q_y (с = 5 м), определим расстояние z₀ от левой опоры до сечения, в котором Q = 0, т.е. решаем пропорцию:

Расчет показывает: z₀ = 3,68м.

Построение эпюры М_x.

Составляем уравнения изгибающих моментов по каждому участку.

Участок I

Проводим сечение 1-1 на расстоянии z ₁ от начала координат (точка С).

Изгибающий момент М ₁ определяем по выражению:

- в(·) А (при z ₂ = a+b = 2м) M_A = – 40кНм

При этом наблюдается параболическая зависимость М₂ от z₂.

Проводим сечение 3-3 на расстоянии z ₃ от начала координат.

Изгибающий момент М₃ определяем по выражению:

- в (·) Е (при z ₃ = a+b+с = 7м) М_Е = 78кНм

Участок IV

Для упрощения вычислений участок IV будем рассматривать справа (по схеме). Для этого проводим сечение 4-4 на расстоянии z₄ от начала координат (точка К).

Изгибающий момент М ₄ определяем по выражению:

Величина изгибающего момента:

- в(·) B (при z ₄ = e = 1,5м) M_B = 25кНм;

- в (·) E (при z ₄ = e+d = 3,5м) М_E = 78кНм