Задачи для самостоятельного решения.

Абсолютная и относительная погрешности.

Интерполирование функций.

В большинстве случаев при измерениях, вычислениях, при выполнении операций над действительными числами получают не точные, а приближённые значения величин.

Модуль разности между точным числом х и его приближённым значением a называется абсолютной погрешностью приближённого значения: .

Число а называется приближённым значением точного числа х с точностью до , если абсолютная погрешность приближённого значения а не превышает , т.е. .

Относительной погрешностью приближённого значения а числа х называется отношение абсолютной погрешности этого приближения к числу а: .

Задача приближения функций состоит в представлении известных или неизвестных функций с помощью других, более простых функций.

Интерполирование является одним из способов приближения функций и применяется в тех случаях, когда функция задаётся таблицей своих значений в некоторых точках.

Интерполяция функции , заданной в точках (узлы интерполирования) отрезка , – подбор функции , значения которой в узлах интерполирования совпадают с , . Другими словами, интерполяция – это восстановление функции на отрезке по известным значениям этой функции в точках , .

Функцию часто ищут в виде многочлена n -ой степени (степень многочлена на 1 меньше количества узлов интерполирования).

Интерполяционный многочлен Лагранжа.

Если для n+1 различных значений аргумента известны соответствующие значения некоторой функции , где (), то для этой функции можно записать интерполяционный многочлен Лагранжа:

.

Пример 1. Функция задана таблицей:

Составить интерполяционный многочлен Лагранжа и вычислить значение функции в точке х=0.

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Абсолютная и относительная погрешности. Интерполирование функций. Стр. 1

Решение.

Метод наименьших квадратов.

При решении задач в различных областях естествознания приходится пользоваться эмпирическими формулами, составленными на основе результатов опыта и наблюдения. Способ наименьших квадратов – один из лучших методов получения таких формул.

Пусть необходимо установить функциональную зависимость между двумя величинами х и у. При этом произведено n измерений этих величин. Результаты измерений занесены в таблицу:

x			…
y			…

Можно предположить, что между этими величинами существует линейная зависимость

,

где a и b – некоторые параметры, которые определяются из системы:

.

Пример 2. Объём реализации некоторых товаров за истёкший период представлен в таблице:

Составить линейную эмпирическую формулу и сделать прогноз на 2013 год.

Решение. Т.к. годы идут по порядку, то можно заменить их порядковыми номерами:

x
y
xy

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Абсолютная и относительная погрешности. Интерполирование функций. Стр. 2

Составим систему для определения параметров a и b:

.

Решив систему, получим , .

Тогда линейная эмпирическая формулу имеет вид:

.

Вычислим прогнозируемое на 2013 год значение:

.

Задачи для самостоятельного решения.

№1. Найти интерполяционный многочлен Лагранжа для функции, заданной таблицей:

№2. Составить линейную эмпирическую формулу:

		1,5		2,5		3,5
	0,12	1,26	2,32	3,25	4,35	5,52

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Абсолютная и относительная погрешности. Интерполирование функций. Стр. 3