Имитационное моделирование

Имитационное моделирование — это один из современных методов науч­ного обеспечения исследований и прогнозирования последствий принимае­мых решений. Имитационное моделирование используется:

• для совершенствования методов расчета технико-производствен­ных показателей с учетом случайных факторов;

• для определения площадей со сложной конфигурацией, вычисле­ния интегралов, в том числе «неберущихся», решения уравнений математической физики в задачах диффузии, теплопроводности, деформирования и т.д.

Имитационное моделирование состоит в многократном воспроизведении функционирования (поведения) исследуемой системы на основе математиче­ской модели. Результаты имитационного моделирования представляют собой выборки случайных величин, характеризующих исследуемый процесс. Ими-1ЯЦИОННЫЙ эксперимент можно полностью провести на ЭВМ.

Как правило, расчеты в горном производстве содержат формулы с детер­минированными параметрами. Вместе с тем многие характеристики месторо­ждения, свойств полезного ископаемого, внешних условий разработки и перера- ботки сырья имеют случайный характер. Например особенность гравийно-песчаных месторождений состоит в наличии валунов (крупных обломочных Пород) от 0,2 до 3-4%. Среднее квадратическое отклонение содержания гра­вии и валунов по различным блокам составляет 6-16%, а коэффициент вариа­ции — 13-33%. В результате неоднородности качественных характеристик Полезной толщи месторождения на дробилыю-сортировочный завод поступаетсырье с колебаниями содержания гравия и валунов от 20 до 80%, что в свою очередь вызывает неритмичность работы, потерю производительности и по­вышение энергозатрат оборудования. Изменчивость пород вскрыши (песок, известь, глины, скальные породы) приводит к колебаниям производительности вскрышных машин (экскаваторов, скреперов, бульдозеров) на 40-60%. Примеры можно продолжить, но и сказанного достаточно для вывода о необходимости совершенствования методов расчета горных машин и оборудования с учетом случайного характера величин, влияющих на конечный результат. Эта задача и успехом решается применением имитационного моделирования. В практике брикетного производства обычно по заданной величине проектной мощности брикетного завода рассчитывается и подбирается оборудование (прессы, сушилки, дробилки, грохоты, питатели и др.), а затем составляется материальный баланс с определением расхода сырья для брикетировании в единицу времени. Проблема в том, что характеристики сырья имеют большую вариабельность по влажности, плотности и зольности, а это приводит к значительному снижению производительности технологического оборудования, повышению энергоемкости производства (до 30%), росту удельного расхода сырья на 1 т брикетов (до 20%). Имитационное моделирование позволяв построить расчет технологического оборудования и материального баланса но с конца, а с начала, т.е. с определения характеристик сырья и его расхода (используются реальные случайные характеристики сырья — дисперсия, математическое ожидание, тип распределения), а затем с учетом случайных фактории с заданной вероятностью вывода (в горном производстве достаточно принять ее равной 0,95) рассчитываются значения производительности технологического оборудования в естественной последовательности от сырьевого бункер.I до прессов, с нахождением наиболее достоверной мощности брикетного завода в целом. Расчеты показывают, что в этом случае указанные выше потери энергозатрат и сырья становятся минимальными.

Точно таким же образом задача ставится и решается при определении запасов полезного ископаемого с учетом его случайных характеристик (глубин.I массива, плотность, содержание отдельных компонентов и др.). В известные формулы вместо детерминированных (неслучайных) величин подставляют найденные методом статистических испытаний параметры.

При реализации имитационного моделирования систем со случайными исходами применяют, как отмечалось, метод статистических испытаний. Идеи метода в том, что с помощью специально организованной процедуры, вклю чающей в себя случайность, проводится розыгрыш переменных величин Множество полученных реализаций (исходов) используют как статистически!) материал, обработав который, получают математические ожидания, дисперсии и другие характеристики распределения искомых параметров.

Суть метода рассмотрим на простейшем примере определения площади круга (ограничений на форму фигуры нет), расположенного внутри единично го квадрата

Метод статистических испытаний применяется с успехом для характеристики внутренней поверхности пористого материала. В этом случае используют увеличенную в к раз микрофотографию произвольного сечения пористо го материала. На эту фотографию много раз бросают иголку. Предел, к которому стремится отношение числа попадания иголки в область, занятую пустотами, к общему числу бросаний иголки, равен средней пористости (заме тим, метод разработан в 30-х годах и, имея в своем распоряжении таблицы случайных чисел и ЭВМ, нет необходимости в бросании иголок).

Методом статистических испытаний решается любая задача, но оправ данным он может быть лишь в том случае, если процедура розыгрыша сл> чайных исходов проще, чем другие методы расчета. С увеличением числа розыгрышей п точность расчета асимптотически растет, но следует иметь в виду, что для снижения погрешности в 10 раз; нужно в 100 раз увеличить п. Суть метода применительно к решению интегралов состоит в том, что величине х в подынтегральном выражении ставится в соответствие некоторая случайная величина Е,, математическое ожидание ко торой М{с,) равно х. Затем случайное число Ь, реализуется по какому-либо закону распределения (чаще по закону равномерной плотности распределения) и принимается за приближенное значение величины х. При использовании имитационного моделирования нельзя забывать, что гго статистический эксперимент и его результаты достигают стационарных оценок только после многократных повторений.

10 МЕТОДЫОПТИМИЗАЦИИ В ГОРНОМ ПРОИЗВОДСТВЕ

Оптимизация (optimus — наилучший) — выбор решения, обеспечивающего наилучшие результаты функционирования системы.

Система, для которой показатель ее качества имеет экстремальное значе­ние (минимум или максимум), является оптимальной

Математические методы оптимизации служат основным инструментом теории принятия решений и исследования операций. см. п.11

11 ПОСТАНОВКА ЗАДАЧ ОПТИМИЗАЦИИ. КРИТЕРИЙ ОПТИМИЗАЦИИ

Постановка задачи оптимизации начинается с выявления цели. Критерий оценки достижения поставленной цели называют показателем эффективности, критерием оптимальности или оптимизации. Совокупность параметров сис­темы, при которых обеспечивается экстремум критерия оптимизации, назы­вают оптимальными параметрами. Целевая функция— зависимость критерия оптимизации от независимых переменных (параметров) задачи.

Примером неправильной постановки задачи оптимизации может служить требование одновременного достижения нескольких противоречивых оптимумов, правильной — требование достижения максимума (минимума) лишь одного критерия при ограничениях на значения остальных параметров. Последнее служит необходимым условием задачи оптимизации.

В качестве достаточного условия задачи оптимизации нужно, во-первых, располагать ресурсами оптимизации. Это значит, что объект оптимизации должен обладать определенными степенями свободы, т.е. управляющими воз-действиями, за счет которых можно менять его состояние. Во-вторых, объект оптимизации должен иметь количественную оценку (критерий оптимизации).

Оптимизация процессов горного производства может быть направлена на получение наиболее дешевого продукта или продукции с высокими показате­лями качества, наилучшими условиями охраны труда и санитарии, охраны ок­ружающей среды при комплексном использовании полезного ископаемого. Однако не любая выходная величина может служить критерием оптимизации. Критерий обладает следующими свойствами: оценивается числом; показатели 1ичества и качества процесса изменяются монотонно (за исключением осо­бых случаев, когда критерий принимает лишь два значения — 0 и 1) по сле­дующему закону — чем больше, тем лучше, или наоборот. Критерием не мо­жет быть величина, значение которой должно иметь некоторый зафиксиро­ванный уровень, отклонения от которого в ту или иную сторону недопустимы но физическому или технологическому содержанию процесса. Признаком оптимальности служит достижение экстремума критерия оптимизации.

Выходных показателей процесса, удовлетворяющих перечисленным условиям, обычно несколько. Трудность состоит в выборе главного и наиболее важного показателя — критерия оптимизации. В тех случаях, когда имеет место многокритериальная задача, а таких задач большинство, существуют осо-10ые методы их решения. Главная проблема решения многокритериальной задачи — сведение ее к однокритериальной, так как, в принципе, одновременно достичь экстремальных значений нескольких критериев нельзя. Неправильно требовать, например, минимума затрат на добычу полезного ископаемого при минимуме энергоемкости и трудоемкости.

Известны различные методы сведения многокритериальной задачи к од­нокритериальной. В качестве обобщенного критерия предлагается использовать функцию желательности R = '^R, R₂

R_m где т — число рассматри­ваемых частных критериев оптимизации /?,, R₂,...R_m. Такой подход иногда ре­комендуется для оценки качества продукции. В других случаях из нескольких критериев составляется сумма, частное или произведение. Например, в числителе дроби ставятся все величины, которые желательно увеличить, а знаменателе — те, которые требуется уменьшить. В таком случае стремятся к максимуму обобщенного критерия. Иногда используют в качестве обобщенного показателя эффективности процесса взвешенную сумму частных критериев

R = aiR\+a₂Ri+ …+a_iR_i+...+a_mR_m,

где а,— весовые коэффициенты, назначаемые субъективно.

Если некоторый /?, желательно увеличить, то а, при нем бе­рут положительным, в противной ситуации отрицательным. Такой подход из­вестен при оценке уровня управления производством.

В качестве метода решения многокритериальных задач может использо­ваться способ выделения области Паретовских решений.

Используется и другой способ сведения многокритериальной задачи к од-нокритериальной. Для этого выделяют один главный критерий /?, и стремятся обратить его в максимум, а на другие критерии R₂, R₃,...R_m накладывают ог­раничения, потребовав, чтобы они были не меньше (в задаче на максимум) за­данных значений. В других случаях ранжируют частные критерии оптимиза­ции и выбор оптимального объекта ведут последовательным рассмотрением совокупности объектов с постепенной выбраковкой из них тех, которые име­ют худшие показатели на каждом из этапов. Такой подход применялся при выборе сырьевых баз для организации торфяного производства с комплекс­ным использованием торфа.

Известен также метод решения многокритериальных задач способом по­следовательных уступок. Критерии R_u R₂,...R_m располагают в порядке убыва­ния важности и определяют решение, обращающее в экстремум самый важ­ный критерий /?,. Затем, исходя из практических соображений, назначается некоторая уступка ДЛ,, которая необходима для нахождения экстремума сле­дующего по важности критерия /?₂. Далее назначается уступка А/?₂ и опреде­ляется следующий экстремум /?₃ и т. д.

В зависимости от поставленной цели применяются экономические, термодинамические, технологические, статистические критерии оптимизации. Наиболее полные критерии — экономические (приведенные затраты, прибыль, себестоимость, фондоотдача, рентабельность).

Последовательность решения оптимизационных задач:

• назначение цели и выбор критерия оптимизации R;

• наложение ограничений на R с помощью дополнительных уравне­ний, неравенств и других условий;

• нахождение зависимости R 0Tx_bx₂.

x_m; • анализ зависимости R (xi, х_г,.... х_т) с целью определения х„ кото­рые можно отнести к числу оптимизирующих воздействий.

Уравнение функции цели принимает следующий вид:

R = R {Х\, х₂,.. .Xi, Xi+i,..., х_т),

первые i факторов принимаются переменными, а остальные (контролируемые, не регулируемые входы) — как фиксируемые. В окончательной формулировке 1чи требуется найти значения факторов х_ь х₂,...&^:. обеспечивающих экстремум по критерию R. При нахождении зависимости R(x_u х_ъ...,х_т) необходимым элементом (взывается составление и решение уравнений математического описания, ^пользование аналитических методов при определении оптимального решения предпочтительно и более плодотворно, так как при этом удается ис-1едовать характер полученного решения. Однако это не всегда возможно, и поэтому широко используются численные методы оптимизации с применением ЭВМ.

Среди аналитических методов оптимизации следует указать методы исследования функций на экстремум, известные из школьной программы, вариационного исчисления, математического программирования, принцип максим ума.

Многие задачи технологии открытых горных работ связаны с определением оптимальных емкостей машин (бункерные уборочные и кузовные машины, скреперы, экскаваторы и др.) при ограничениях на установленную мощность двигателей. Это типичные задачи для приложения метода Лагранжа.

Элементы вариационного исчисления

Наряду с задачами механики, в которых требуется определить экстре мальное значение функции у = J{x), нередко возникает необходимость найти максимум или минимум переменных величин, называемых функционалами значение которых выражается определенным интегралом и зависит от выбор! вида одной или нескольких функций. Примером функционала служит выражение длины дуги

J(_X,y)= jyjl + iy'fdx.

Величина J(x, у) может быть вычислена, если известна у(х). Моменты инерции, статические моменты, координаты центра тяжести не которой кривой или поверхности, площадь поверхности вращения и др. такжч

(шляются функционалами, и их вычисление зависит от вида функций, входя­щих в уравнение кривой или поверхности.

Вариационное исчисление изучает методы, позволяющие находить экс­тремальные значения функционалов.

Многие задачи механики и физики сводятся к утверждению, что функ­ционал в рассматриваемом процессе должен достигать максимума или мини­мума. Эти законы носят название вариационных принципов механики или фи-жки. К числу вариационных принципов принадлежат: принцип наименьшего исйствия, закон сохранения энергии, закон сохранения импульса, закон сохра­нения количества движения, принцип Кастилиано в теории упругости и мно­гие другие.

Таким образом, предметом вариационного исчисления является отыска­ние неизвестных функций _у(*) илиу,(х), реализующих максимум или минимум функционалов вида

х₂

J= ]F[y(x),y\x),x]dx (2.1)

г

или J= \F[y_f(x),y₂(x),...,y_n(x),y\(x),y'₂(x\-,y'_n(x),x]dx, (2.2)

где F — подынтегральное выражение.

Пределы интегрирования х\ и х₂ и граничные значения искомых функций у или у-, известны. Рассматриваются также задачи, в которых пределы интег­рирования (граничные значения функций) неизвестны и нуждаются в опреде­лении.

Предполагается, что рассматриваемые интегралы существуют, а функции у(х) в выражении (2.1) или у,(х) в выражении (2.2), дающие экстремум функ­ционалу, выбираются из множества всех функций, имеющих на заданном от­резке непрерывные вторые производные. Подынтегральная функция F (инте-грант) также имеет непрерывные производные.

Каждая из п функций у\{х), у₂(х),..., у„(х), реализующая экстремум функ­ционала J(y_i} y\, х), должна удовлетворять, согласно необходимому условию, системе п дифференциальных уравнений (уравнений Эйлера)