Собственные частоты и формы колебаний

Продольные и поперечные колебания балочных элементов

При расчёте динамических нагрузок в случаях старта, разделения ступеней РН, включения и выключения двигательных установок для моделирования силовых корпусов РН наиболее широко используются балочные модели. Поэтому в данном разделе проводится анализ динамического поведения балочных элементов, являющихся базовыми составляющими расчетных моделей для определения нагрузок.

Продольные колебания

Рассмотрим движение (продольное перемещение u (x,t)) выделенного элемента dx (рис.3.1).

f(x,t)

N(x)

N(x+dx)

Рисунок 3.1

Относительная деформация , напряжение и продольная сила определяются следующими соотношениями

(3.1.1)

Здесь E – модуль упругости,

F – площадь поперечного сечения стержня,

произведение обычно называется продольной жёсткостью балки.

Уравнение продольного движения выделенного элемента запишется так:

(3.1.2)

где m – погонная масса, – распределённая продольная сила, последний член в (3.1.2) характеризует диссипативные силы.

Поделив равенство (3.1.2) на dx и устремив размер выделенного элемента к нулю, получим

(3.1.3)

С учётом соотношения для (3.1.1) приходим к уравнению относительно продольного перемещения u (x,t)

(3.1.4)

Здесь оператор L имеет вид

(3.1.4а)

Для решения задачи о продольном движении сечений стержня необходимо задать начальные условия в виде поля перемещений и поля скоростей в начальный момент времени.

(3.1.5)

Кроме того необходимо задать граничные условия на концах стержня. На каждом конце это может быть либо закрепление, либо свободный край.

Закрепление при x =0 ,	(3.1.6)

Поперечные колебания

Поперечные колебания РН имеют важное значение для анализа нагрузок. Поэтому является важным исследование поперечных колебаний балочных элементов.

Выделим из колеблющейся балки элемент dx и рассмотрим действующие на него силы и моменты.

Q+dQ

M+dM+dQ

f (x,t)

Рисунок 3.2

Здесь М – изгибающий момент,

– перерезывающая сила,

– распределённая погонная поперечная сила.

Уравнение движения в поперечном направлении (уравнение сил)

(3.2.1)

Здесь – поперечное перемещение,

– погонная масса,

последнее слагаемое характеризует диссипативные силы.

Или

(3.2.2)

Уравнение моментов

(3.2.3)

– момент инерции вращения единицы длины балки.

Из (3.2.3) следует

(3.2.4)

Отсюда, пренебрегая моментом инерции вращения , будем иметь

(3.2.5)

Воспользуемся соотношением между изгибающим моментом и поперечным перемещением нейтральной линии балки (полученным исходя из гипотезы прямой нормали) (см. Приложение к разделу).

(3.2.6)

Здесь – момент инерции сечения балки.

Подставляя из (3.2.5) в уравнение (3.2.2) с учётом (3.2.6) получим окончательное уравнение поперечных колебаний балки

(3.2.7)

где

(3.2.8)

Отметим, что структура уравнений поперечных колебаний балки (3.2.7) аналогична структуре продольных колебаний стержней:

инерционный член

диссипативный член

оператор, характеризующий упругие силы

внешние силы

В силу общности структуры уравнений продольных (3.1.4) и поперечных (3.2.7) колебаний стержней математическая постановка задачи также обладает общностью.

Для решения уравнения (3.2.7) необходимо задать начальные условия – поле поперечных перемещений и скоростей в начальный момент времени

(3.2.9)

и граничные условия.

Следует отметить, что число граничных условий на каждом краю (в каждой точке границы) определяется порядком оператора L. В упругих задачах для тонкостенных элементов конструкций (балок, пластин, оболочек) порядок оператора L кратный (2 n). Число граничных условий при этом в каждой точке границы равно n. В случае поперечных колебаний балки порядок оператора L равен четырём, поэтому при решении дифференциальных уравнений на каждом краю требуется выполнение двух граничных условий.

При продольных колебаниях стержней оператор L имеет второй порядок и поэтому на каждом краю задается по одному граничному условию.

На рисунке 3.3 представлены варианты граничных условий при поперечных колебаниях балок, которые должны выполняться при использовании уравнений движения.

w (0, t)=0,

w (0,t)=0,

свободный край

закреплённый край

шарнирный край

безинерционный диск, скользящий без трения между двумя жёсткими пластинами из-за наличия вертикальной щели

(3.2.10)

Рисунок 3.3

Четвёртый вариант граничных условий ( ) математически и физически допустим, но не имеет практического значения.

В дальнейшем будет показано, что при решении задач для упругих систем вариационным путём потребуется выполнение только кинематических (или геометрических) граничных условий, налагаемых на перемещения и углы поворота.

Собственные частоты и формы колебаний

Для решения уравнений колебаний различных типов конструкций, имеющих вид (3.1.4), (3.2.7) наиболее часто используется метод разложения решения по собственным формам колебаний.

(3.3.1)

где – обобщённые координаты,

– соответствующие формы колебаний.

Уравнение для определения собственных частот и форм колебаний получается из уравнений (3.1.4) и (3.2.7) путём отбрасывания диссипативных и внешних сил

(3.3.2)

К уравнению присоединяются соответствующие рассматриваемой задаче однородные граничные условия (3.1.6), (3.2.10).

Решение уравнения (3.3.2) отыскивается в виде

(3.3.3)

Тогда уравнение для определения форм колебаний запишется так:

(3.3.4)

с соответствующими однородными граничными условиями.

Решением задачи (3.3.4) является совокупность собственных частот w_i и отвечающих им собственных форм колебаний .

Отметим также, что амплитуда погонных инерционных сил в соответствии с (3.3.3) будет иметь вид

(3.3.4а)

Неотрицательному симметричному оператору L для континуальной упругой системы соответствует счётное множество собственных частот w_i и форм колебаний . Очевидно, что собственные формы определяются с точностью до константы в виде множителя.

Симметрия и положительность операторов продольных и поперечных колебаний стержней

Оператор L всех рассматриваемых здесь упругих систем является симметричным и неотрицательным [16]. Свойство симметрии заключается в том, что при любых допустимых функциях u и v справедливо равенство

(3.3.5)

где скобками {..} обозначено обобщенное скалярное произведение

(3.3.6)

Здесь компоненты векторов и являются функциями .

К допустимым функциям относятся функции, удовлетворяющие одним и тем же граничным условиям задачи (3.3.2)

Свойство неотрицательности оператора L заключается в том, что

(3.3.7)

Покажем, что операторы, описывающие продольные, крутильные и поперечные колебания стержней, удовлетворяют свойствам (3.3.5) и (3.3.7). Для этого подставим оператор L, соответствующий, например, продольным колебаниям (3.1.4а), в формулу (3.3.5) и проинтегрируем дважды по частям в левой части равенства (3.3.5)

(3.3.8)

При интегрировании по частям внеинтегральные члены обращаются в нули, так как функции u и v удовлетворяют однородным граничным условиям.

Из равенства первого и последнего выражений в соответствии (3.3.8) следует симметрия оператора L (3.1.4а).

Равенства первого и второго выражений в соответствии (3.3.8) при приобретает вид

(3.3.9)

Из соотношения (3.3.9) видно, что выражение равно удвоенной потенциальной энергии П при продольных колебаниях стержней и удовлетворяет неравенству (3.3.7). Знак равенства в (3.3.7) имеет место только в том случае, когда = const, что соответствует смещению стержня как твердого целого при нулевой частоте (w₀=0).

Покажем, что оператор, описывающий поперечные колебания стержня (3.2.8), также удовлетворяет условию симметрии (3.3.5) и положительности (3.3.7). Подставим оператор (3.2.8) в левую часть формулы (3.3.5) и проинтегрируем дважды по частям

(3.3.10)

После четырехкратного интегрирования по частям (двукратного интегрирования правой части (3.3.10)) будем иметь

(3.3.11)

Все внеинтегральные члены в соотношениях (3.3.10) и (3.3.11) в силу однородных граничных условий (3.2.10) равны нулю (в нуль обязательно обращается первый или второй сомножитель при любых граничных условиях).

Равенство первого и последнего выражения в (3.3.11) указывает на симметрию оператора L.

Из соотношения (3.3.10) при =u получим

	(3.3.12)
где – потенциальная энергия при изгибе стерж

Отсюда следует, что при поперечных колебаниях стержней выражение равно удвоенной потенциальной энергии и оператор L является неотрицательным.

Равенство нулю выражения , как и при продольных колебаниях, возможно только при смещении стержня как жесткого целого, т.е. при . В силу равенств (3.3.9) и (3.3.12) выражение называют энергетическим скалярным произведением. Отметим, что свойствами симметрии, положительности и равенства выражения удвоенной потенциальной энергии обладают также операторы теории упругих пластин и оболочек.

Положительность собственных частот. Покажем, что собственные частоты симметричного положительного оператора неотрицательны. Обозначим некоторую собственную форму и соответствующую ей собственную частоту через , соответственно. Тогда можно записать тождество