№ 13. а) Решите уравнение .
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку .
Решение.
а) ;
;
;
;
;
, ;
, ;
, .
б) С помощью числовой прямой отберём корни уравнения, принадлежащие отрезку :
Если , то , и , .
Если , то , и , .
Если , то , и , .
Получаем корни , и .
Ответ: а) , ; б) , и .
Содержание критерия | Баллы |
Верно получены обоснованные ответы в двух пунктах | |
Обоснованно получен верный ответ в пункте а) или пункте б), ИЛИ Получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения уравнения и отбора корней | |
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше. | |
Максимальный балл | 2 |
№ 14. Решите неравенство .
Решение.
Перепишем данное неравенство в виде
.
Так как функция убывающая и определена на множестве положительных чисел, то полученное неравенство равносильно системе:
.
Ответ: .
Содержание критерия | Баллы |
Обоснованно получен верный ответ. | |
При решении учтено убывание функции, но не учтена область определения. ИЛИ Получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения. | |
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше. | |
Максимальный балл | 2 |
№ 15. Напишите уравнение касательной к графику функции , в точке .
Решение.
Общий вид уравнения касательной к графику функции в точке с абсциссой имеет вид .
.
.
.
Тогда , .
Ответ: .
Содержание критерия | Баллы |
Верно получен обоснованный ответ. | |
Допущена ошибка при записи общего вида уравнения касательной к графику функции в точке с абсциссой ИЛИ Допущена ошибка при нахождении производной ИЛИ Получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения | |
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше. | |
Максимальный балл | 2 |
№ 16. Трапеция вписана в окружность. Ее основания равны 21 см и 5 см, а один из углов равен . Найти площадь трапеции.
Решение.
Так как трапеция (ВС || AD) вписана в окружность, то она равнобокая: АВ = CD. Проведем высоту ВМ AD, тогда (см).
Так как , то . В , , тогда этот треугольник прямоугольный и равнобедренный. Значит,
ВМ = АМ = 8 см.
(см2).
Ответ: 104 см2.
Содержание критерия | Баллы |
Верно получен обоснованный ответ. | |
Допущена ошибка при нахождении высоты трапеции. ИЛИ Допущена ошибка при нахождении площади трапеции ИЛИ Получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения. | |
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше. | |
Максимальный балл | 2 |
№ 17. Найдите область определения функции .
Решение.
Так как данная функций вида , то .
;
;
;
Ответ: .
Содержание критерия | Баллы |
Верно получен обоснованный ответ | |
Допущена ошибка при составлении неравенства ИЛИ Допущена ошибка при решении квадратного неравенства ИЛИ Получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения. | |
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше. | |
Максимальный балл | 2 |
№ 18. Параллельно оси цилиндрапроведено сечение, которое является квадратом со стороной см и отсекает от окружности основания дугу, градусной мерой . Найдите площадь боковой поверхности цилиндра.
Решение.
ОО 1 – ось цилиндра, квадрат ABCD – сечение цилиндра, (ABC) || ОО 1.
см, .
Тогда – равносторонний и АО = 6 см. см2.
Ответ: см2.
Содержание критерия | Баллы |
Верно получен обоснованный ответ. | |
Получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность и обоснованность всех шагов решения. | |
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше. | |
Максимальный балл | 2 |
№ 19. Исследуйте функцию и постройте ее график.
Решение.
.
Точки пересечения с осями координат: .
.
Так как и , то функция ни четная, ни нечетная.
.
Стационарные точки: ; , .
+ | – | – | + | ||||
Сделаем рисунок.
Содержание критерия | Баллы |
Верно исследована функция и верно построен график | |
Построен верно график, но выполнены не все этапы исследования функции. ИЛИ Построен неверный график, но при этом имеется верная последовательность и обоснованность всех шагов решения ИЛИ Приведено правильное полное исследование функции, но не построен график | |
Построен верный график, но отсутствует исследование функции ИЛИ Построен неверный график в результате двух и более ошибок при исследовании функции. | |
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше. | |
Максимальный балл | 3 |
№ 20 В основании прямой призмы лежит ромб. Большая диагональ призмы равна 12 см и наклонена к плоскости основания под углом , а меньшая образует с боковым ребром угол . Найдите объем призмы.
Решение.
1. Рисунок, пояснения к рисунку.
ABCDA1B1C1D1 – прямая призма. Ее основание ABCD – ромб, – его диагонали. Высотой призмы является боковое ребро. Тогда – проекция на плоскость основания, АС – проекция А 1 С на плоскость основания. Так как , а , то – диагонали призмы и см, и .
Найдем объем призмы по формуле:
,
где S осн – площадь основания призмы, то есть S осн = SABCD;
Н – высота призмы, то есть Н = АА 1.
2. Нахождение высоты.
Для нахождения высоты рассмотрим .
Из ():
(см), то есть Н = 6 см.
3. Нахождение площади основания.
Площадьоснования призмы найдем по формуле .
Для нахождения АС рассмотрим ():
(см).
см как боковые ребра призмы.
Для нахождения BD рассмотрим ():
(см).
(см2).
4. Нахождение объема
(см3).
Ответ: см .
Содержание критерия | Баллы |
1. Правильно сделан чертеж (показаны диагонали и углы, сделаны пояснения к рисунку). 2. Правильно найдена высота. 3. Правильно найдена площадь основания. 4. Правильно найден объем. | |
Отсутствует один из критериев оценивания, указанных выше | |
Допущены ошибки, которые не повлияли на правильный ход решения | |
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше. | |
Максимальный балл | 2 |
Максимальный первичный балл за всю работу – 30.
Критерии оценивания
Отметка | Процент |
90 – 100 | |
75 – 89 | |
60 – 74 | |
36 – 59 | |
0 – 35 |
Соответствиеколичества набранных баллов, оценке по пятибалльной системе оценивания учебных достижений учащихся приведено в таблице:
Количество набранных баллов | Оценка по пятибалльной системе оценивания учебных достижений учащихся |
27-30 | |
22-26 | |
18-21 | |
10-17 | |
0-9 |
Желаем успеха!