Линейные неоднородные дифференциальные уравнения

 

Дифференциальное уравнение вида

называется линейным неоднородным дифференциальным уравнением n-го порядка. Если функции определены и непрерывны на промежутке (a, b), то общее решение также определено на (a, b) и представимо в виде

где – общее решение соответствующего линейного однородного дифференциального уравнения

а – частное решение неоднородного уравнения. Если ФСР однородного уравнения известна, общее решение неоднородного уравнения можно найти методом вариации постоянных. Для неоднородных уравнений с постоянными коэффициентами и правой частью специального вида применяется также метод неопределенных коэффициентов.

 

Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами и правой частью специального вида

Класс функций специального вида составляют следующие функции:

1. Показательные

2. Тригонометрические (тангенсы и котангенсы сюда не входят);

3. Многочлены (в том числе постоянные);

4. Суммы и произведения (но не частные!) функций, перечисленных выше.

Другими словами, это такие функции, которые могут совпасть с частными решениями линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами.

Теорема 3. Если в линейном неоднородном дифференциальном уравнении

правая часть является функцией специального вида, такое уравнение имеет частное решение специального вида.

Назовем квазимногочленом функцию вида , где – многочлены степеней k и l соответственно. Назовем его степенью – число , а показателем – комплексное число Напомним, что однородное уравнение, соответствующее данному неоднородному, решается с помощью характеристических корней. Эти понятия позволяют сформулировать правила поиска частного решения, уточняющие теорему 3.

Правило 1. Если показатель правой части не совпадает ни с одним из характеристических корней, искомое частное решение является квазимногочленом степени m c показателем . (См. задачу 1.)

Правило 2. Если показатель правой части совпадает с характеристическим корнем кратности r, искомое частное решение является произведением квазимногочлена степени m c показателем и сомножителя (См. задачу 2).

Правило 3. Если правая часть где – частное решение уравнения ,

Последнее правило используют, если правая часть содержит слагаемые с разными показателями. Оно легко обобщается на любое количество слагаемых (см. задачу 3).

Метод вариации постоянных

Разберем метод вариации постоянных применительно к линейным неоднородным дифференциальным уравнениям 2-го порядка. Напомним, что в этом случае линейное однородное уравнение

имеет общее решение вида . Общее решение неоднородного уравнения

будем искать в виде где – неизвестные функции. Их производные удовлетворяют следующей системе линейных алгебраических уравнений

Основным определителем этой системы является определитель Вронского поэтому система однозначно разрешима. С помощью формул Крамера можно получить для следующие выражения

Отметим, что эти формулы проще вывести, чем запомнить. Кроме того, систему линейных алгебраических уравнений не всегда целесообразно решать методом Крамера.

Далее интегрированием находят . Заметим, что при этом способе решения задачи нет необходимости отдельно указывать частное решение .

Аналогично, в случае линейного неоднородного дифференциального уравнения n -го порядка общее решение ищут в виде Неизвестные функции находят, решая систему линейных алгебраических уравнений

с последующим интегрированием.

Отметим, что при n =1 метод вариации постоянных совпадает (с точностью до обозначений) с методом Бернулли.

 

Решение типовых задач

Задача 1. Решить дифференциальные уравнения:

a1)

Решение. Характеристическое уравнение поэтому Будем искать в виде . Тогда . Подставляя эти выражения в дифференциальное уравнение, получим откуда . Общее решение .

a2) .

Решение. Характеристическое уравнение поэтому Будем искать в виде . Тогда . Подставляя эти выражения в дифференциальное уравнение и сгруппировав слагаемые по степеням , получим тсюда . Таким образом, Общее решение

a3) .

Решение. Характеристический поэтому При дифференцировании синуса появится косинус (и наоборот), поэтому . Подстановка этих выражений в дифференциальное уравнение приводит к соотношению

из которого вытекает система алгебраических уравнений на неизвестные коэффициенты: . Решая эту систему, находим . Общее решение .

b1)

Решение. Характеристический поэтому .Показатель правой части не совпадает с характеристическим корнем, степень m =0. Частное решение ищем в виде . Дифференцируя, получаем

Отсюда

Из системы линейных алгебраических уравнений находим . Общее решение

b2)

Решение. Характеристические поэтому .Показатель правой части не совпадает с характеристическим корнем, степень m =max(1;0)=1. Частное решение ищем в виде . Дифференцируя, получаем

Отсюда

Приравнивая подобные члены в правой и левой частях последнего тождества, получаем уравнения . Отсутствие в правой части членов вида приводит к уравнениям . Из этих четырех уравнений находим . Общее решение

Замечание. То, что b и с оказались равны нулю, создает впечатление, что можно было бы заранее исключить соответствующие слагаемые из записи . Этого, вообще говоря, делать не следует, как показывает следующий пример.

c1)

Решение. Характеристические поэтому .Для ” используем те же выражения, что и в предыдущем примере. Их подстановка в дифференциальное уравнение приводит к тождеству

или, после упрощений

Отсюда получаем систему алгебраических уравнений

Из первого и третьего уравнения находим После этого второе и четвертое уравнения принимают вид

Отсюда . (Таким образом, содержит слагаемые всех четырех типов.) Общее решение .

Задача 2. Решить дифференциальные уравнения:

a1)

Решение. Характеристический поэтому . (Отметим, что вследствие этого искать частное решение неоднородного уравнения в виде бесполезно. Хотите убедиться – попробуйте!) Поскольку показатель совпадает с характеристическим корнем кратности , будем искать в виде . При этом . Следовательно, , то есть а =1. Общее решение .

a2) .

Решение. Характеристические поэтому .Показатель правой части совпадает с характеристическим корнем, поэтому частное решение ищем в виде . Далее,

После подстановки этих выражений в дифференциальное уравнение слагаемые с сомножителем сократятся (проверьте!) Останется равенство

Отсюда . Общее решение .

a3) .

Решение. Характеристическое уравнение имеет корни . Значит, Степень правой части m =1, а показатель совпадает с корнем кратности r =2. Поэтому частное решение ищем в виде . Дифференцируя, находим затем и, наконец, Отсюда Из алгебраиче­ских уравнений находим Общее решение

b1)

Решение. Характеристические Степень правой части m =1, показатель совпадает с корнем кратности r =1. Поэтому частное решение ищем в виде Вычисляем производные:

Подстановка этих выражений в дифференциальное уравнение дает:

или, после упрощений

Отсюда . Общее решение

c1)

Решение 1. Характеристические поэтому .Показатель правой части совпадает с характери­стическим корнем кратности r =1, степень m =0. Поэтому ищем частное решение в виде Дифференцируем:

Подстановка этих формул в дифференциальное уравнение приведет к весьма гро­моздкому выражению. Чтобы не запутаться в выкладке, отдельно сгруппируем члены, которые умножаются на , опустив этот сомножитель:

Аналогично сгруппируем сомножители при :

Отсюда получаем Таким образом, Общее решение

Решение 2 (метод комплексной экспоненты). Рассмотрим вспомогательное дифференциальное уравнение где –функция с комплекс­ными значениями, Характеристическим соответствует комплекснозначная ФСР однородного уравнения По­скольку , будем искать комплексное частное решение в виде (аналогично примерам a1 и b1). Тогда

Подставим эти выражения в левую часть дифференциального уравнения и упростим полученную формулу:

Поскольку – корень характеристического уравнения, последнее выражение равня­ется Далее, приравнивая выражения в левой и правой частях ОДУ, нахо­дим z:

Комплексное частное решение

Правые части исходного вещественного и вспомогательного комплексного ОДУ связаны тождеством: Поэтому явля­ется частным решением исходного уравнения.

Задача 3. Решить дифференциальные уравнения:

b1)

Решение. Внешнее сходство с примером b1 предыдущей задачи не должно вводить в заблуждение. Чтобы выявить структуру общего решения, перепишем уравнение в виде В правой части оказались слагаемые с разными показателями, поэтому, согласно правилу 3, будем искать общее решение в виде Характеристические поэтому .

Из того что следует, что Значит, Подставим эти выражения в ле­вую часть преобразованного ОДУ и приравняем к

После упрощений получим

Из алгебраических уравнений находим Таким образом,

Далее, Отсюда Анало­гично предыдущему случаю, подставим эти выражения в левую часть преобразо­ванного ОДУ и приравняем к Получим Общее реше­ние

b2)

Решение. Правая часть преобразуется в сумму квазимногочленов с помощью тригонометрического тождества . Кратный характеристический корень Для вид частного реше­ния Легко видеть, что , поскольку

Для показатель не совпадает с характеристическим кор­нем, степень Поэтому Отсюда

Легко находим, что

Таким образом, общее решение

Задача 4. В горизонтальном желобе находится идеальная пружина жесткости k. Левый конец пружины зафиксирован, а к правому – прикреплен груз массы m, ко­торый может перемещаться по желобу без трения. К грузу приложена сила, перио­дически зависящая от времени: . При какой частоте амплитуда колебаний будет неограниченно расти?

Решение. Аналогично задаче 4 параграфа 7.3, составим дифференциальное уравнение движения груза: и перепишем его в виде

Характеристические корни , общее решение однородного уравнения

является ограниченной функцией. Вид и свойства частного решения неоднородного уравнения зависят от показателя правой части . При частное реше­ние независимо от точных значений a и b также явля­ется ограниченной функцией. Однако, при совпадении частное решение имеет вид и является неограниченным. Физики назы­вают это явление резонансом. Поскольку сумма ограниченной и неограниченной функций является неограниченной, амплитуда колебаний будет расти независимо от начальных условий.

Ответ. .

Задача 5. Не вычисляя неопределенных коэффициентов, указать вид частных решений ОДУ:

a1)

Решение. Характеристический корень имеет кратность r =2, показа­тель правой части совпадает с характеристическим корнем, степень m =1. Вид частного решения .

b1)

Решение. Характеристические корни имеют кратность r =1, показа­тель правой части совпадает с характеристическим корнем, сте­пень m =2. Вид частного решения

b2)

Решение. Характеристическое уравнение может быть записано как Характеристические корни и имеют кратность r =2, показатель правой части не совпадает с характеристическим корнем, сте­пень m =1. Вид частного решения

c1)

Решение. Характеристическое уравнение преобразуется к виду Характеристические корни и имеют кратности 1 и 3 соответст­венно. Правая часть преобразуется в сумму Степени обоих слагаемых равны 1. Показатель первого слагаемого совпадает с трехкратным характери­стическим корнем, показатель второго слагаемого с характеристи­ческими корнями не совпадает. Вид частного решения , где

Задача 6. Решить задачи с начальными условиями:

a1) (краевая задача).

Решение. Характеристические поэтому . Вид частного решения Отсюда следовательно . Общее решение неоднородного уравнения

Подставляя сюда , найдем . Подставляя , получим , откуда . Искомое решение

b1) (задача Коши).

Решение. Характеристические поэтому . Да­лее, Упрощая соотношение

получим Следовательно, общее решение .

Подставив в общее решение значения , получим

Чтобы найти второе соотношение между и , продифференцируем общее реше-ние: и подставим . Получим , откуда . Теперь можно вычислить . Окончательно получаем

Замечание. Вычисление констант в задачах с начальными условиями возможно только после того, как получено общее решение линейного неоднородного уравнения.

Задача 7. Решить дифференциальные уравнения

a1)

Решение. Правая часть не является функцией специального вида, поэтому задачу нужно решать методом вариации постоянных. ФСР однородного уравнения образуют функции , поэтому ищем общее решение неоднородного уравнения в виде . Из системы

найдем , . Из первого уравнения . Подставляя это выражение во второе уравнение, получим . Отсюда

Далее находим функции интегрированием:

(В выкладках подобного рода константы интегрирования обозначают той же буквой, что и искомые функции.) Таким образом,

Ответ можно записать короче, введя константу Тогда

b1)

Решение. ФСР однородного уравнения образуют функции , поэтому ищем общее решение неоднородного уравнения в виде . Из системы

найдем , . Сложив первое уравнение, умноженное на , со вторым уравнением, умноженным на , получим Из первого уравнения Далее

Общее решение или

Задача 8. Убедившись, что функции образуют ФСР линейного однородного ОДУ , найти общее решение уравнения

Решение. Проверка первого утверждения – несложное вычисление, которое мы оставляем читателю. Чтобы применить метод вариации к неоднородному уравнению, нужно учесть следующий нюанс: система для определения записывается в предположении, что коэффициент при старшей производной в неоднородном уравнении равен единице. Поэтому функция в правой части второго уравнения этой системы равна х -1, а не (х -1)². В остальном запись системы несложна:

Решим эту систему с помощью формул (7.4.1). Найдем . Далее

Общее решение