Перечень ресурсов информационно-коммуникационной сети «Интернет», необходимых для освоения дисциплины

1. Российский образовательный портал https://www.edu.ru -

2. https://www.lineyka.inf.ua/

3. Математический интернет-журнал «Exponenta», https://www.exponenta.ru

4. Учебники по математике (формат DJVU), https://eqworld.ipmnet.ru/ru/library/mathematics.htm

5. Приложение

Титульный лист контрольной работы

Федеральное государственное образовательное бюджетное
учреждение высшего образования

«Финансовый университет при Правительстве Российской Федерации»

(Финуниверситет)

Калужский филиал Финуниверситета

Факультет «Экономика и бизнес-технологии»

Кафедра «Информатика и высшая математика»

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

по дисциплине «Математика»

Вариант __________

Выполнил (а) студент (ка) 1 курса,

группы _____________,

формы обучения_____________________

(очной, заочной)

____________________________________

(Ф.И.О. студента)

Проверил преподаватель:

____________________________________

(ученая степень, должность, Ф.И.О.)

Дата поступления работы на кафедру:	Оценка: ________________ _____________ (зачтено/не зачтено) подпись преподавателя
____ ____________20__г.	___ _____________ 20__ г.

Калуга 2021

Примеры выполнения контрольных работ

Пример выполнения варианта контрольной работы №1

Задание 1-2.

А) Вычислить предел

Решение.

Так как функция в точке непрерывна, то предел функции равен значению функции в этой точке, т.е.

Ответ: 3.

Б ) Вычислить предел

Решение.

Значение квадратного трехчлена при равно 0. Значение двучлена при также равно 0. В результате вычисления предела имеем неопределенность вида . Равенство 0 квадратного трехчлена и двучлена означает, что число 1 является корнем каждого из этих выражений. Для раскрытия неопределенности надо найти второй корень квадратного трехчлена, решив для этого уравнение . В результате имеем два корня: -1 и и разложение квадратного трехчлена на множители Исходя из полученного разложения, упростим выражение, предел которого надо найти. Таким образом, получаем:

Ответ: -5

В) Вычислить предел

Решение.

При числитель и знаменатель дроби являются бесконечно большими величинами, т.е. имеем неопределенность вида . Разделим числитель и знаменатель на переменную с наибольшим показателем, т. на . Используя теоремы о пределе, получаем

Ответ: -7.

Г) Вычислить предел

Решение.

При имеем неопределенность вида . Так как числитель и знаменатель дроби содержат тригонометрические функции и , то для раскрытия неопределенности с помощью первого замечательного предела необходимо умножить числитель и знаменатель соответственно на и . Таким образом, для нахождения предела необходимо тождественное преобразование дроби, применение теорем о пределе, первого замечательного предела и следствия из него. В результате имеем

Ответ:

д) Вычислить предел .

Решение.

При имеем неопределенность вида , которая является признаком второго замечательного предела. Для его применения выделим целую часть дроби. Имеем

Используя теорему о пределе произведения, свойство непрерывности степенной функции, второй замечательный предел, получим

Ответ:

Задание 3.

Зависимость спроса на товар от его цены выражается функцией . Найдите спрос на товар, предельный спрос и точечную эластичность спроса по цене при p = 4 д.е. Чему будет равна средняя эластичность спроса по цене, при увеличении цены на 5%?

Решение.

Определим спрос при цене товара равной 4 д.е (р-4):

Предельный спрос равен производной от функции спроса:

Его значение при р=4 равно:

Точечная эластичность спроса по цене вычисляется по формуле:

Вычислим значение эластичности при р=4:

Так спрос больше 1, то он эластичен.

При увеличении цены на 5% новая цена будет равна: 4+4◦0,05=4.2

При этом спрос при новой цене равен:

Средняя эластичность будет равна

Ответ: При цене = 4 д.е спрос на товар равен 0.1, предельный спрос равен -0.045, точечная эластичность равна -1.8. Средняя эластичность спроса по цене, при увеличении цены на 5% равна -0.43.

Задание 4. Найти производную неявно заданной функции и вычислить ее значение при

Решение.

Продифференцируем, исходя из того, что . Имеем В левой части равенства оставим слагаемые, содержащие а в правую часть перенесем слагаемые, не содержащие Получим

Исходя из того, что - общий множитель слагаемых в левой части равенства, имеем .

В результате получаем, что

Для вычисления сначала надо найти Для этого подставим в выражение, определяющее функцию:

В результате получаем, что или Отсюда имеем, что Учитывая это, вычисляем :

Ответ:

Задание 5. Полные издержки при выпуске q единиц продукции выражаются функцией . Функция спроса на эту продукцию имеет вид q=18-0,2p, где р – цена единицы продукции.

1) Найдите минимум: а) полных издержек C (q); б) средних издержек AC(q)= C(q)/q;

2) Постройте график предельных издержек MC(q)= C¢(q).

3) Составьте функцию дохода R (q) от продажи q единиц товара по цене р.

4) Найдите функцию прибыли

Решение.

1. Для определения минимума полных издержек найдем значение при котором производная функции или Решая уравнение, находим . Так как на промежутке (0,10) производная а на промежутке то при функция полных издержек принимает минимальное значение 21.

Функция средних издержек определяется как отношение полных издержек к объему произведенной продукции, т.е.

Для определения ее минимума найдем производную и решим уравнение или Получаем два корня уравнения -11 и 11. Так как объем произведенной продукции не может выражаться отрицательным числом, то – посторонний корень. При функция средних издержек принимает минимальное значение

2. Функция предельных издержек Ее график – часть прямой, заданной уравнением при условии, что МС

10 q

3. Доход D от продажи q единиц товара по цене р равен произведению pq. Из функции спроса выразим цену Тогда Графиком является часть параболы, задаваемая уравнением при

Если П (q) – функции прибыли, то

График функции прибыли – это часть параболы, определяемая условием q>0. Анализ значений функции прибыли и ее графика позволяет сделать вывод о ее получении, если (с точностью до 0,1)

Ответ: 1) 21; ; 2) график функции предельных издержек – часть прямой, заданной уравнением при условии, что ; 3) функция дохода ; 4) функция прибыли имеет вид , ее график – часть параболы, определяемая условием .

Задание 6.

Провести исследование функции и построить ее график.

Решение.

Исследование функции проводится по схеме:

1. Нахождение области определения функции;

2. Исследование функции на четность/нечетность;

3. Определение точек пересечения графика функции с осями координат;

4. Установление интервалов знакопостоянства;

5. Нахождение интервалов монотонности и экстремумов функции;

6. Нахождение асимптот функции;

7. Нахождение интервалов выпуклости и точек перегиба;

8. Установление области значений функции.

Проведем исследование функции в соответствии со схемой.

1. Область определения – это множество значений переменной кроме т.е.

2. , поэтому и Следовательно, функция не является ни четной, ни нечетной. График не является симметричным ни относительно оси координат, ни относительно начала координат.

3. . Если то . Решением уравнения является значение Таким образом, график функции пересекает ось абсцисс в точке , ось ординат в точке

4. Для того, чтобы найти интервалы знакопостоянства, надо решить неравенство или В результате имеем, что при при Это означает, что график функции на промежутках и расположен выше оси абсцисс, а на промежутке ниже оси абсцисс.

5. Для определения интервалов монотонности и экстремумов функции найдем Для любого допустимого значения переменной производная Это означает, что на каждом из двух промежутков области определения функция является возрастающей. Экстремумов функция не имеет.

6. В точке функция не определена. Проверим, является ли прямая вертикальной асимптотой к графику функции. Для этого найдем и .

Таким образом, прямая является вертикальной асимптотой.

Определим, имеет ли график функции наклонную асимптоту Для этого вычислим угловой коэффициент k и свободный член b ;

Учитывая, что , получаем, что прямая – горизонтальная асимптота к графику функции.

7. Для определения интервалов выпуклости и точек перегиба, найдем вторую производную

.Имеем, что при при Следовательно, на промежутке функция выпукла вниз, на промежутке – выпукла вверх. В точке функция не определена, поэтому точек перегиба нет.