Определения
Дифференциальные уравнения с запаздывающим аргументом вида
(1)
где 
, 
, 
, называются дифференциальными уравнениями с запаздыванием, зависящим от состояния, а именно с сосредоточенным запаздыванием.
Если заданы начальные данные в виде
(2)
То имеет смысл определить понятие решения, начинающегося в точке σ с функции φ, или, короче, начинающегося в φ.
В дальнейшем будем рассматривать только решения, удовлетворяющие условию Липшица, поэтому следует дать следующее определение:
Def 1. Функция 
называется решением системы (1), (2) на отрезке 
, если она удовлетворяет следующим условиям:
на отрезке 
.
Естественно возникает вопрос о существовании и единственности такого решения.
Для начала сделаем некоторые обозначения.
a) 
есть функция, определенная на отрезке 
и удовлетворяющая условию Липшица с константой L, то есть
;
b) 
c) 
Def 2. 
удовлетворяет условиям a),b),c)}
Полезная лемма
Lemma 1: 
- выпуклое, замкнутое, ограниченное множество в пространстве непрерывных на отрезке функций.
Proof:
1) Выпуклость:
a)Выберем произвольные функции 
, тогда
b) 
;
c) 
на отрезке 
на том же отрезке для любых 
.
2) Ограниченность:
Множество определено так, что все элементы этого множества лежат в шаре радиуса 
3) Замкнутость:
Возьмем последовательность функций такую, что
, 
.
a) 
Возьмем 
тогда
Так как это верно при любом 
, то получаем, что предельная функция удовлетворяет условию Липшица с константой L.
b) По теореме Кантора 
равномерно на отрезке.
Предположим, что при этом 
(для простоты доказательства предположим что 
, если 
, рассуждения проводятся аналогично)
Возьмем 
, тогда, так как для любого положительного и любого 
выполнено 
, то выполнено и для данных и t. Получим:
Так как по предположению , то получаем что 
, а это невозможно, так как 
. Противоречие показывает, что предельная функция ограничена по норме той же константой 
.
c) 
на отрезке 
.
Видим, что выполнение условий a,b,c равнозначно тому что 
, то есть множество замкнуто.
Лемма доказана полностью.
Существование и единственность решения
Для доказательства теоремы о существовании и единственности липшицевого решения нам потребуется некоторые понятия и важные теоремы, доказательства которых можно, например, найти в книге Кадеца [3].
Def 2. Оператор Т называется вполне непрерывным (компактным), если Т непрерывен и Т отображает любое ограниченное множество в предкомпактное.
Def 3. Семейство Ф функций φ, определенных на 
называется равномерно ограниченным, если 
Def 4. Семейство Ф функций φ, определенных на , называется равностепенно непрерывным, если 
Теорема 1. (Арцела)
Для того чтобы семейство Ф непрерывных, определенных на отрезке функций было предкомпактом в 
, необходимо и достаточно, чтобы это семейство было равномерно ограниченным и равностепенно непрерывным.
Теорема 2. (Шаудера, принцип неподвижной точки)
Если U-замкнутое ограниченное выпуклое подмножество пространства Банаха X оператор 
вполне непрерывен, то Т имеет в U по крайней мере одну неподвижную точку.
Именно на теореме Шаудера основано доказательство теоремы о существовании и единственности решения.
Теорема 3. (существование и единственность решения системы (1).(2))
Пусть система (1),(2) такая что:
Тогда 
такая что на отрезке 
существует решение системы (1),(2), удовлетворяющее условию Липшица, и оно единственно.
Замечание. Для простоты возьмем 
, для других значений теорема доказывается аналогично, или сводится к этому случаю заменой переменных.
Доказательство: Проинтегрировав уравнение (1), увидим, что решение должно удовлетворять условию:
Обозначим
и будем искать решение в виде 
Где 
Определим оператор
,
Который действует из 
в себя, действительно, возьмем произвольный элемент 
a) Проверим, удовлетворяет ли образ условию Липшица: возьмем
При 
b) 
При 
выполнено 
.
c) 
при 
по определению оператора.
Выполнение условий a,b,c означает что 
.
Для этого необходимо подобрать параметры 
так, чтоб одновременно выполнялись условия:
(3)
(4)
Покажем, что оператор Т осуществляет непрерывное отображение:
Возьмем последовательность 
такую что
Оценка выполнена на всем интервале, величина 
положительна и конечна, отсюда следует, что при | 
также стремится к нулю, а значит оператор Т переводит сходящиеся последовательности в сходящиеся, а значит он непрерывен.
Компактность оператора будем доказывать по теореме Арцела, так как образ оператора лежит в пространстве 
с соответствующей нормой.
1) 
,
правая часть не зависит ни от t, ни от y, значит образ оператора – равномерно ограниченное семейство функций.
2) 
Выбирая 
получаем что образ оператора есть равностепенно непрерывное семейство функций.
А значит, образ множества 
предкомпакт, а оператор Т вполне непрерывен.
Так как множество ограничено, выпукло и замкнуто, а оператор Т компактен и действует из этого множества в себя, то по теореме Шаудера существует по крайней мере одна неподвижная точка 
из этого множества.
, а это значит, что 
- решение системы (1),(2).
Единственность:
Предположим, что при выполнении условий теоремы x и y – решения системы (1),(2) на интервале 
.
При оба решении совпадают с начальными данными, а значит равны между собой. На интервале 
оценим модуль разности функций, являющимися решениями.
Эта оценка верна для произвольного t отсюда немедленно следует, что
,
Выбирая 
таким малым, чтоб 
было меньше 1, получаем что 
, а значит на 
. Последовательно строя интервалы длинной 
закончим доказательство теоремы.