Реферат
Динамика вращательного движения твердого тела
Кинетическая энергия вращения твёрдого тела
Момент инерции твердого тела
Рассмотрим твёрдое тело, которое может вращаться вокруг неподвижной вертикальной оси. Чтобы удержать ось от перемещений в пространстве, заключим её в подшипники. Опирающийся па нижний подшипник фланец Фл, предотвращает передвижение оси в вертикальном направлении.
Абсолютно твёрдое тело можно рассматривать как систему материальных точек с неизменным расстоянием между ними. Линейная скорость элементарной массы 
равна 
, где 
-расстояние массы от оси вращения. Следовательно, для кинетической энергии элементарной массы получается выражение
Кинетическая энергия вращающегося твёрдого тела складывается из кинетических энергий его частей.
Сумму, входящую в правую часть этого соотношения назовём моментом инерции I тела относительно оси вращения
- момент инерции твёрдого тела.
Слагаемые этой суммы представляют момент инерции материальной точки относительно оси вращения
- момент инерции материальной
точки относительно оси вращения.
Размерность момента инерции [ I ]= 1 кг 
Таким образом, кинетическая энергия тела вращающегося вокруг неподвижной оси, равна
- кинетическая энергия вращающегося твёрдого тела.
Вычисление моментов инерции некоторых тел правильной формы
Согласно определению момент инерции твёрдого тела равен
,
где символом 
обозначена элементарная масса . Элементарная масса равна произведению плотности тела 
в данной точке на соответствующий элементарный объём 
|
|
.
Следовательно, момент инерции можно представить в виде
.
Это значение момента инерции является приближенным. Точное значение I получается при замене суммирования на интегрирование, т.е.
.
Эти интегралы берутся по всему объёму тела.
Пример 1: Вычисление момента инерции тонкого стержня массы m и длинной l, вращающегося вокруг оси перпендикулярной стержню и проходящей через центр масс.
Будем считать стержень однородным, тогда
Другие примеры значений моментов инерции для некоторых тел правильной формы приведём без вычислений.
Пример 2: Полый тонкостенный цилиндр, тонкое кольцо:
- момент инерции цилиндра или тонкого кольца
Пример 3: Сплошной цилиндр, диск.
- момент инерции сплошного цилиндра или диска
Пример 4: Сплошной шар.
- момент инерции шара.
Заметим, что во всех приведённых примерах, тела предполагаются однородными, и вычисляются моменты инерции относительно центральных осей,
т.е. осей проходящих через центр масс.
Момент инерции тела относительно нецентральной оси
Теорема Штейнера
Пусть тело вращается вокруг неподвижной нецентральной оси. Это тело обладает кинетической энергией
, (1)
где I - момент инерции тела относительно данной нецентральной оси 
. Проведём через центр масс С ось ОО, параллельную данной нецентральной оси 
. Тогда вращение твёрдого тела можно представить как результат вращения центра масс С вокруг оси и вращение твёрдого тела вокруг центральной оси ОО тоже с угловой скоростью w. Кинетическую энергию тоже можно представить как сумму двух слагаемых:
|
|
, (2)
где 
- линейная скорость центра масс. C учётом (1) и (2) получаем
- теорема Штейнера.
Теорема Штейнера: Момент инерции I относительно произвольной оси равен сумме момента инерции I0 относительно оси, параллельной данной и проходящей через центр масс тела, и произведения массы тела m на квадрат расстояния d между осями:
Таким образом, теорема Штейнера, по существу, сводит вычисление момента инерции относительно произвольной оси к вычислению момента инерции относительно оси, проходящей через центр масс тела.
Момент импульса твёрдого тела относительно закреплённой оси. Главные оси и главные моменты инерции
Рассмотрим твёрдое тело, которое может вращаться вокруг неподвижной вертикальной оси. Возьмём на оси вращения точку О и будем характеризовать положение образующих тело материальных точек с помощью радиус-векторов 
, проведённых из этой точки. На рисунке показана i-я материальная точка с массой 
. Согласно определению момент импульса i-ой материальной точки относительно точки О равен
,
или, используя связь 
,
.
Для раскрытия двойного векторного произведения воспользуемся формулой
.
кинетический энергия вращение инерция
Мы видим что, момент импульса i-ой материальной точки 
не совладает по направлению с угловой скоростью 
, и его можно представить как сумму двух составляющих: осевой 
и радиальной
.
Момент импульса всего твёрдого тела равен
|
|
или 
где I - момент инерции твёрдого тела относительно оси вращения, 
- составляющая момента импульса тела, перпендикулярная оси вращения..
Нетрудно сообразить, что для однородного тела симметричного относительно оси вращения (для однородного тела вращения) суммарный момент импульса направлен вдоль оси вращения в ту же сторону что и , и равен
.
Действительно в этом случаи тело можно разбить на пары равных по массе, расположенных симметрично материальных точек. Сумма моментов каждой пары направлена вдоль вектора , следовательно, и суммарный момент импульса 
будет совпадать по направлению с и равен 
.
Для несимметричного (или неоднородного) тела момент импульса , вообще говоря, не совпадает по направлению с вектором . При вращении тела вектор поворачивается вместе с ним, описывая конус.
Заметим, что в случае вращения однородного симметричного тела, силы бокового давления подшипников на ось не возникают. В отсутствие силы тяжести подшипники можно было бы убрать, - ось и без них сохраняла бы своё положение в пространстве. Ось, положение которой в пространстве остаётся неизменным при вращении вокруг неё тела в отсутствии внешних сил, называется свободной осью тела
Можно доказать, что для тела любой формы и с произвольным распределением масс существуют три взаимно перпендикулярные, проходящие через центр масс оси, которые могут служить свободными осями: эти оси называются главными осями инерции тела. Моменты инерции относительно главных осей называются главными моментами инерции тела.
В общем случае эти моменты различны: 
.
Для тела с осевой симметрией два главных момента инерции имеют одинаковую величину, третий же, вообще говоря, отличен от них: 
.
И, наконец, в случае тела с центрально симметрией, все три главных момента одинаковы: 
.
Примеры:
Параллелепипед: 
Диск: 
Цилиндр: Шар:
