Докажем сейчас, что если над непрерывными функциями произвести конечное число арифметических действий или операций взятия функции от функции, то в результате получится также непрерывная функция. В каждом случае мы покажем, что предел соответствующей функции будет равен ее значению в предельной точке, а это и означает непрерывность функции.
Теорема о сумме конечного числа непрерывных функций (9.7).
Сумма конечного числа функций, непрерывных в некоторой точке, является функцией, непрерывной в этой же точке.
| 9.7. Теорема о сумме конечного числа непрерывных функций (адрес файла Блок 4 ___). Сумма конечного числа функций, непрерывных в некоторой точке, является функцией, непрерывной в этой же точке. Вернитесь к тексту |
Доказательство. Пусть дано конечное число функций и (х), v (x)… w (х), непрерывных в точке х = х 0. Требуется доказать, что их сумма у (х) = и (х) + v (x) +…+ w (х) будет непрерывной функцией в точке х = х 0. Так как слагаемые функции непрерывны, то
, 
,…, 
,
где и (х 0), v (x 0)… w (х 0) – значения функций и, v,… w в точке х = х 0. В силу теоремы о пределе суммы имеем
.
Следовательно,
,
что и требовалось доказать.
Теорема о произведении конечного числа непрерывных функций (9.8).
Произведение конечного числа функций, непрерывных в некоторой точке, является непрерывной функцией в той же точке.
| 9.8. Теорема о произведении конечного числа непрерывных функций (адрес файла Блок 4 ___). Произведение конечного числа функций, непрерывных в некоторой точке, является непрерывной функцией в той же точке. Вернитесь к тексту |
Доказательство аналогичное предыдущему, т.е. нужно показать, что
.
Теорема о частном двух непрерывных функций (9.9).
Частные двух функций, непрерывных в некоторой точке, является функцией, непрерывной в той же точке, если только знаменатель не обращается в ней в нуль.
| 9.9. Теорема о частном двух непрерывных функций (адрес файла Блок 4 ___). Частные двух функций, непрерывных в некоторой точке, является функцией, непрерывной в той же точке, если только знаменатель не обращается в ней в нуль. Вернитесь к тексту |
Если
,
то
.
Теорема о непрерывности сложной функции (9.10).
Сложная функция, составленная из конечного числа непрерывных функций, непрерывна.
| 9.10. Теорема о непрерывности сложной функции (адрес файла Блок 4 ___). Сложная функция, составленная из конечного числа непрерывных функций, непрерывна. Вернитесь к тексту |
Пусть y = f (z), а z = j (х), т.е. у = f (j (х)) = F (х), причем j (х) непрерывна при х = х 0, а f (z) непрерывна при z = z 0, где z 0 = j (х 0). Утверждение теоремы состоит в том, что у, как функция х, т.е. F (х), непрерывна при х = х 0. Действительно, пусть х ® х 0. Из непрерывности функции z = j (х) следует, что при этом 
, т.е. что z ® z 0. Так как f (z) непрерывна в т. z 0, то 
. Но ведь z = j (х) и с учетом только что сказанного последнему равенству можно придать вид
или в другой записи 
что и требовалось доказать.
Следует отметить, что все элементарные функции непрерывны в областях их существования. И на основании теорем о непрерывности суммы, разности, произведения и частного можно утверждать, что функции, получаемые из них при помощи конечного числа арифметических действий, являются также непрерывными функциями в областях их существования.
Точки разрыва функции.
Определение точки разрыва функции (9.11).
Точка х 0 называется точкой разрыва функции f (х), если f (х) в точке х 0 не является непрерывной.
| 9.11. Определение точки разрыва функции (адрес файла Блок 4 ___). Точка х 0 называется точкой разрыва функции f (х), если f (х) в точке х 0 не является непрерывной. Вернитесь к тексту |
Разрывы функций можно классифицировать следующим образом.
Точка разрыва первого рода (9.12).
Если в точке разрыва х 0 существуют конечные односторонние пределы функций, то разрыв функции называется разрывом первого рода.
| 9.12. Точка разрыва первого рода (адрес файла Блок 4 ____). Если в точке разрыва х 0 существуют конечные односторонние пределы функций, то разрыв функции называется разрывом первого рода. Вернитесь к тексту |
К разрывам первого рода относятся так называемые устранимые разрывы. Именно, если
,
то разрыв устраним в том смысле, что достаточно изменить значение функции в точке х 0, положив 
, и функция станет непрерывной в точке х 0.
Точка разрыва второго рода (9.13).
Если в точке х 0 функция терпит разрыв, причем хотя бы один из односторонних пределов бесконечен или вовсе не существует, то разрыв функции называется разрывом второго рода.
| 9.13. Точка разрыва второго рода (адрес файла Блок 4 ____). Если в точке х 0 функция терпит разрыв, причем хотя бы один из односторонних пределов бесконечен или вовсе не существует, то разрыв функции называется разрывом второго рода. Вернитесь к тексту |
Различные случаи разрывов и характера непрерывности функции для наглядности изображены на рисунке.
В точке х 1 функция имеет разрыв первого рода, ток как f (х 1 – 0) = f (х 1) ¹ f (х 1 + 0).
В точке х 2 функция не определена, однако предел функции в этой точке существует и конечен. Приняв этот предел за значение f (х 2), получим функцию, доопределенную и непрерывную в точке х 2.
В точке х 3 функция имеет разрыв второго рода, так как 
, 
.
В точке х 4 функция имеет разрыв второго рода. Положение аналогичное точке х 3.
В точке х 5 функция имеет устранимый разрыв, так как существует 
.
Пример 2. Исследовать на непрерывность и построить схематический график функции
.
Решение. В точке х = 1 функция не существует. Поэтому х = 1 – точка разрыва. Установим характер разрыва, для чего вычислим односторонние пределы функции:
.
.
Как видим, односторонние пределы функции в точке х = 1 существуют, но не равны между собой, f (1 + e) ¹ f (1 – e), поэтому в точке х = 1 функция терпит разрыв 1-го рода. Величина скачка функции
.
Заметим, что
,
т.е. при х ® ±¥ график функции асимптотически приближается к оси Ох.
Схематический график функции представлен на рисунке
Пример 3. Исследовать на непрерывность и построить схематический график функции
.
Решение. В точке х = 0 функция не существует. Следовательно, в этой точке нарушено условие непрерывности и х = 0 является точкой разрыва. Для определения характера разрыва найдем односторонние пределы.
.
.
Правосторонний предел функции равен бесконечности, следовательно, х = 0 – точка разрыва 2-го рода.
При х ® ±¥ 
, т.е. график функции приближается асимптотически к прямой у = 1.
Пример 4. Исследовать на непрерывность и построить схематический график функции
.
Решение. В точке х = 2 функция не определена, тем самым, нарушено условие непрерывности, значит, в точке х = 2 функция терпит разрыв. Чтобы установить характер разрыва, найдем односторонние пределы:
.
Односторонние пределы существуют и равны между собой. Значит, в точке х = 2 имеет место устранимый разрыв. Графиком функции является прямая, на которой отсутствует точка с абсциссой х = 2.
Чтобы устранить разрыв, положим f (2) = 0. Получаем непрерывную функцию
.