Сформулируем (без доказательства) некоторые теоремы, касающиеся непрерывной функции на замкнутом интервале.
Теорема 1 (первая теорема Больцано – Коши) (9.14).
Пусть на отрезке [ а, b ] определена непрерывная функция f (х), причем на концах отрезка она имеет значения разных знаков. Тогда на [ а, b ] найдется по крайней мере одна точка с (а < с < b), в которой функция равна нулю.
| 9.14. Теорема 1 (первая теорема Больцано – Коши) (адрес файла Блок 4 ___). Пусть на отрезке [ а, b ] определена непрерывная функция f (х), причем на концах отрезка она имеет значения разных знаков. Тогда на [ а, b ] найдется по крайней мере одна точка с (а < с < b), в которой функция равна нулю. Вернитесь к тексту |
Иначе говоря, непрерывная функция при переходе от значений одного знака к значению другого знака проходит и через нулевое значение. Графически это выглядит так:
Следовательно, непрерывная кривая при переходе с одной полуплоскости по отношению к оси Ох на другую непременно пересекает эту ось.
Теорема 2 (первая теорема Больцано – Коши) (9.15).
Пусть на отрезке [ а, b ] определена непрерывная функция f (х), принимающая на концах отрезка различные значения, например, f (а) = А, f (b) = В. Тогда, какое бы число С между числами А и В мы ни взяли, на отрезке [ а, b ] найдется такая точка (а < с < b), что f (с) = С.
| 9.15. Теорема 2 (первая теорема Больцано – Коши) (адрес файла Блок 4 ___). Пусть на отрезке [ а, b ] определена непрерывная функция f (х), принимающая на концах отрезка различные значения, например, f (а) = А, f (b) = В. Тогда, какое бы число С между числами А и В мы ни взяли, на отрезке [ а, b ] найдется такая точка (а < с < b), что f (с) = С. Вернитесь к тексту |
Иначе говоря, непрерывная функция при переходе от одного значения к другому проходит и все промежуточные числа.
Геометрическая иллюстрация теоремы:
Таким образом, если функция f (х), заданная на промежутке Х, непрерывна на этом промежутке, то совокупность Y ее значений также представляет собой некоторый промежуток.
Теорема 3 (первая теорема Больцано – Коши) (9.16).
Если функция f (х) непрерывна на отрезке [ а, b ], то она ограничена на этом отрезке, то есть существуют такие числа т и М, что для всех х из [ а, b ] выполняется неравенство т £ f (х)£ М.
| 9.16. Теорема 3 (первая теорема Больцано – Коши) (адрес файла Блок 4 ____). Если функция f (х) непрерывна на отрезке [ а, b ], то она ограничена на этом отрезке, то есть существуют такие числа т и М, что для всех х из [ а, b ] выполняется неравенство т £ f (х) £ М Вернитесь к тексту |
Геометрическая иллюстрация теоремы:
f (x 1) = М, f (x 2) = т, f (x 2) < f (x) < f (x 1).
Критерии усвоения.
После изучения и анализа содержания темы Вы должны понимать следующее:
- определения непрерывной функции в точке;
- определение непрерывной функции на промежутке;
- понятие «точка разрыва»;
- характер разрыва функции в точке;
- действия над непрерывными функциями;
- теоремы о непрерывных функциях на отрезке.
В результате изучения данной темы Вы должны знать:
- все три определения непрерывной функции в точке;
- как определяются точки разрыва 1-го рода;
- как определяются точки разрыва 2-го рода;
- что такое устранимый разрыв;
- как применяются теоремы о непрерывных функциях на отрезке на промежутке.
Ваши знания должны обеспечивать следующие умения:
- доказать непрерывность функции;
- определить характер разрыва функции в точке;
- доопределить функцию, чтобы она стала непрерывной;
- построить схематический график исследуемой функции.
9.4. Выход темы в другие разделы курса «Высшая математика» и дисциплины:
- определенный интеграл;
- несобственный интеграл;
- ряды Фурье;
- теоретическая механика;
- физика;
- сопротивление материалов.