11. Ряд Фурье непериодической функции (схема нахождения на примере)
Если функция f(x) непереодическая и задана на произвольном интервале (a;b), то под разложением функции в ряд Фурье понимают разложение в ряд Фурье периодической функции с периодом 2l=b-a, которая на данном промежутке совпадает с функцией f(x).
12. Определения комплексного числа. Мнимая, действительная часть. Определения равенства двух комплексных чисел.
Число, квадрат которого равен -1 называется мнимой единицей и обозначается буквой i. Число вида z=x+iy, где x, y – действительные числа, а i – мнимая единица, называется комплексным числом.
Число x называется действительной частью комплексного числа и обозначается x=Rez.
Число y называется мнимой частью комплексного числа и обозначается y=Imz.
Комплексные числа равны тогда и только тогда, когда равны их действительные и мнимые части.
13. Алгебраическая форма записи комплексного числа.
Алгебраической формой записи комплексного числа является запись его в виде z=x+iy.
14. Комплексно-сопряженное число. Модуль комплексного числа.
Комплексно-сопряженным называется комплексное число, имеющее ту же действительную и противоположную по знаку мнимую часть.
Модулем числа z=x+iy называется sqrt(x^2+y^2) и обозначается r.
15. Геометрическая интерпретация комплексного числа.
Геометрической интерпретацией является обозначенное на комплексной плоскости (ось ОХ – действительная, ОУ - мнимая) число, являющееся радиус-вектором.
16. Тригонометрическая форма записи комплексного числа с выводом.
Аргумент, главное значение аргумента. Операции умножения и деления в тригонометрической форме.
Тригонометрическая форма записи необходима при переводе показательной формы числа в алгебраическую. Тригонометрической формой записи комплексного числа является запись вида z=r(cosf+isinf), где f=arg(z).
Аргументом комплексного числа называется угол между положительным направлением действительной оси и радиус-вектором z, определяющийся с точностью до 2Pik, где k=1,2,3… При работе с комплексными числами обычно используется главное значение аргумента – f, удовлетворяющее условию –Pi<=argz<=Pi.
17. Формула Эйлера с выводом.
Исходя из разложения 
в ряд Тейлора в окрестности f=0 по степеням f получаем 
... Сокращая полученный ряд, выводим 
.
18. Показательная форма записи комплексного числа. Операции умножения и деления в показательной форме.
Показательной формой записи комплексного числа является запись вида z=re^(if), где r и f – модуль и аргумент числа соответственно.
При умножении комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются. При делении комплексных чисел их модули делятся, а аргументы вычитаются.
19. Возведение в степень и извлечение корня из комплексного числа.
20. Понятие функции комплексного переменного.
Если каждому значению комплексной переменной z соответствует определенное значение комплексной переменной w, то говорят, что переменная w есть функция независимой переменной z и пишут w=f(z).
В геометрическом смысле задание функции w означает задание закона отображения множества точек комплексной плоскости z на множество точек комплексной плоскости w.
Функции бывают однозначны и многозначны.
21. Необходимые и достаточные условия дифференцируемости функции в точке.
Необходимыми и достаточными условиями дифференцируемости функции в точке являются условия Коши-Римана. Выполнение этих условий в каждой точке некоторой области означает дифференцируемость функции в области.
22. Определение аналитической функции. Правильные и особые точки комплексной плоскости.
Однозначная функция называется аналитической в данной точке, если она дифференцируема в этой точке и ее окрестности. Функция, дифференцируемая во всех точках некоторой области, называется аналитической в этой области.
Точки, в которых функция является аналитической, называются правильными точками этой функции. А точки, в которых функция не является аналитической (в том числе не определена) – особыми точками.
23. Гармоническая функция (с выводом формулы). Связь аналитической функции и гармонической.
Всякую аналитическую функцию можно восстановить по одной только данной действительной или мнимой частям.
24. Непосредственное интегрирование (пример).
25. Интегрирование аналитической функции.
Если функция является аналитической, то выполнение для нее условий Коши-Римана автоматически означает независимость интегралов от пути интегрирования, а зависимость только от начальной и конечной точек пути. В этом случае всегда существует первообразная для подынтегральной функции, которая тоже является аналитической функцией. То есть, в этом случае справедлива формула Ньютона-Лейбница:
26. Интегральная теорема (с доказательством)
Интеграл по замкнутому контуру от функции, которая является аналитической в замкнутой области, ограниченной этим контуром, равен нулю.
Потому что интеграл от аналитической функции не зависит от пути интегрирования и при смене направления движения по контуру интеграл меняет знак.
27. Интегральная формула Коши.
28. Ряды комплексных чисел. Сходимость ряда.
29. Сходимость степенного ряда. Теорема Абеля. Формулы Коши-Адамара.
Степенным рядом комплексного числа называют ряд вида
В общем случае функционального ряда, областью сходимости может быть множество произвольного вида. Это и вся плоскость, и плоскость с выколотой точкой, и круг, и внешность круга, и полуплоскость, и кольцо.
