ЛЕКЦИЯ 14. Линейные системы дифференциальных уравнений первого порядка

Пусть дан набор из n функций , зависящих от независимой переменной х. Нормальной системой дифференциальных уравнений первого порядка назовем систему дифференциальных уравнений вида

(14.1)

В нормальной системе правые части уравнений не содержат производных искомых функций. Решением системы (14.1) называется совокупность функций удовлетворяющих каждому из уравнений этой системы.

Системы уравнений второго, третьего и более высоких порядков можно свести к нормальной системе, если ввести новые функции, заменяя ими производные и т. д. например, систему

можно свести к четырем уравнениям первого порядка заменой

Для нормальной системы дифференциальных уравнений теорема существования и единственности решения формулируется следующим образом. Пусть в некоторой области G правые части уравнений системы (14.1) непрерывны по всем переменным и имеют в ней непрерывные частные производные по переменным . Тогда каждому набору начальных условий , где числа. отвечает единственное частное решение системы (14.1).

Любую нормальную систему можно свести к одному уравнения порядка n. Но проще всего показать этот алгоритм на линейных системах.

Нормальная система называется линейной, если правые части линейны по переменным .

Рассмотрим систему двух линейных уравнений с постоянными коэффициентами

(14.2)

Здесь постоянные коэффициенты при неизвестных функциях .

Систему (14.2) можно свести к одному дифференциальному уравнению второго порядка с постоянными коэффициентами. Для этого выделим первое уравнение и возьмем от него производную

Подставим из второго уравнения системы

Раскроем скобки

Подставим из первого уравнения системы

(14.3)

и приведем подобные члены. Тогда получим уравнение второго порядка

Или, в стандартной форме

(14.4)

Решив это уравнение, подставим у ₁ в (14.3) и найдем у ₂.

Если функции равны нулю , то система (14.2) называется однородной. Линейная однородная система двух дифференциальных уравнений первого порядка называется автономной.

(14.5)

Замечание. Если неизвестные функции обозначены и , а независимая переменная, то автономная система сводится к однородному дифференциальному уравнению первого порядка, позволяющему найти зависимость . В этом случае и координаты точки в момент времени , а производные имеют смысл проекций вектора скорости. В силу традиций вводятся обозначения , и система приобретает вид

Если разделить второе уравнение на первое и учесть, что , то получим однородное уравнение первого порядка

Которое решается заменой . Решение этого уравнения дает траекторию движения тела на плоскости .

Пример 1. Найти общее решение системы

Дифференцируем первое уравнение . Подставляем из второго уравнения системы . Заменяем на его выражение из первого уравнения и подставляем в уравнение для .

Решаем однородное уравнение второго порядка

Ищем решение уравнения в виде тогда . Получим характеристическое уравнение

Так как дискриминант равен нулю, то корни характеристического уравнения вещественные равные . Общее решение дифференциального уравнения имеет вид

Решаем неоднородное уравнение , ищем частное решение в виде . Берем первую и вторую производные и подставляем в уравнение

Отсюда, сравнивая левую и правую части, получим .

Теперь найдем . Для этого вычислим

Общее решение системы имеет вид

Пример 2: Найти общее решение системы (здесь независимая переменная t, а функции )

Дифференцируя по первое уравнение, получим

Подставим сюда из второго уравнения, тогда

Из первого уравнения системы находим y и подставляем в уравнение для .

Приводя подобные слагаемые в последнем уравнении, получаем линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка относительно :

Характеристическое уравнение имеет вид , а его решения , .

Тогда общим решение дифференциального уравнения будет .

Зная х, найдем у

Решение данной системы имеет вид:

Линейные системы можно решить и матричным методом. Покажем матричный метод решения на примере автономной системы (14.5).

Автономная система характеризуется тремя матрицами. Матрицей коэффициентов А, матрицей-столбцом (вектором) неизвестных Х, матрицей-столбцом (вектором) производных Х’

В матричной форме систему можно записать, используя произведение матриц

Будем искать решение системы в виде вектора , где , а . Неизвестные функции и одинаково зависят от х, но имеют разные коэффициенты при . Тогда вектор производных будет равен . Систему можно записать в виде

Так как , то на него можно сократить и привести подобные члены. Получим обычную линейную систему двух уравнений с двумя неизвестными

(14.6)

Из этой системы надо найти три неизвестных . Если определитель системы не равен нулю

то система имеет единственное тривиальное решение или . Такое решение очевидно и не имеет практического смысла. Система имеет не нулевое решение только в том случае, если определитель равен нулю, но такой решение не будет единственным.

Если раскрыть скобки и привести подобные члены, то получим уравнение

(14.7)

Это уравнение называется характеристическим и в точности совпадает с левой частью уравнения (14.4).

Если к орни характеристического уравнения действительные и различные , то подставим по очереди каждый из корней в систему (14.6) и найдем решение, дающее зависимость от для каждого значения k. Подставив эти значения в искомые функции и , найдем два вектора решений.

Для ,

(здесь «2» номер решения, а не возведение в квадрат)

Общее решение уравнения или

где - произвольные постоянные.

Пример 3. Найти общее решение системы маричным методом:

Матрица . Система (14.6)

(14.8)

Составим характеристическое уравнение (14.7)

или . Его решения имеют вид , .

Подставим в систему (14.8) и найдем :

или

Откуда . Возьмем , тогда ( можно брать равным любому числу, выражается через него. Получили решение системы или

Замечание. Можно было взять , тогда . . Ответы находятся с точностью до постоянного множителя).

Аналогично, подставим в систему (14.8)

и определяем :

Тогда и . Получаем второе решение системы: .

Общее решение системы

или

Если корни характеристического уравнения (14.7) комплексные, то это обязательно два комплексно - сопряженных числа

Этим корням будут соответствовать решения

Коэффициенты и определяются из системы уравнений (14.8) и ответ выглядит точно также. Но если мы не хотим работать с комплексными числами, то используем формулы Эйлера. Получим