Рассмотрим пример решения задачи оптимизации программы раскроя материалов симплексным методом.

F=0.26x₁+0.28x₂+0.3x₃+0.29x₄=min

F=0.26x₁+0.28x₂+0.3x₃+0.29x₄+0x₅+0x₆+0x₇+0x₈+0x₉+M(y₁+y₂+y₃+y₄)=min

Дальнейшее решение было проведено на компьютере и получены следующие ответы: всего подлежит раскрою 200 плит, причем все раскраиваются вторым способом, тогда мы получим 600 заготовок первого вида, 200 – второго, 400 – третьего, 400 – четвёртого, при минимальных отходах, равных 56 м².

Экономическая сущность и математическое моделирование транспортных задач.

Известны: пункты производства (А₁, А₂ … A_i … А_m); m – пунктов, производящих конкретную продукцию;

а_i – мощность i-поставщика (сколько необходимо реализовать продукции, т. е. перевести из А_i)

– суммарная мощность поставщиков в плановом периоде;

пункты потребления (В₁, В₂ … B_j … В_n); n – пунктов потребления конкретной продукции;

b_j – потребность (спрос, ёмкость) j-поставщика в конкретной продукции;

– суммарный спрос n-потребителей.

1) – сбалансированные спрос и предложение, такие задачи называются закрытыми транспортными задачами;

­– открытая транспортная задача.

2) возможна поставка продукции из любого пункта производства в любой пункт потребления.

3) с_ij – затраты на поставку продукции, т. е. критерий оптимальности (может быть и на производство, и на транспортировку).

В задаче требуется найти план транспортных связей между поставщиками и потребителями продукции, при котором потребности всех потребителей были бы удовлетворены с минимальными суммарными затратами на поставку всей продукции.

x_ij – объём поставки от i-поставщика к j-потребителю (искомая величина)

Целевая функция:

(1)

Условие реализации продукции у каждого из поставщиков:

(2)

Условие обеспечения всех потребителей продукцией по их потребности:

(3)

Условие не отрицательности переменных:

В решении системы линейных уравнений 2 и 3 необходимо найти такие не отрицательные значения переменных, чтобы целевая функция принимала минимальное значение.

m+n-1 – линейно независимых уравнений, ранг системы, r= m+n-1.

В каждом опорном плане должно быть m+n-1 базисных элементов (x_ij>0), если таких переменных равно или больше, чем m+n-1, план называется невырожденный; если одна или несколько базисных переменных равна нулю, то такой план считается вырожденным.

Открытые транспортные задачи.

a)

(1)

(2)

(3)

B_n+1: – потребность какого-то потребителя, находящегося за пределами района (фиктивный потребитель).

(1)

(2)

(3)

с_{i, n+1}=0 (i=1,2…m)

б)

(1)

(2)

(3)

А_n+1: – фиктивный поставщик.

(1)

(2)

(3)

Ограничение транспортных возможностей.

а) x_ij=0 => c_ij=М, где М»0;

б) 0 ≤ х_ij ≤ d_ij

d_ij – характеризует транспортные возможности между i-поставщиком и j-потребителем.

Тогда поставщик А_i условно делится на А_i` и А<sub>i</sub>``, при этом a<sub>i</sub>`=d_ij и a_i``= a<sub>i</sub>`-d<sub>ij</sub>, c<sub>ij</sub>`=c<sub>ij</sub> и c<sub>ij</sub>``=М, где М»0.