Второй тур 04.11.13. Первая лига.

Второй тур 04.11.13. Высшая лига.

1. Военная база имеет форму выпуклого многоугольника. В некоторых её точках расставлены радары. У каждого радара под наблюдением — выпуклый центрально–симметричный многоугольник с центром в точке базы, где стоит этот радар; все эти многоугольники получаются друг из друга параллельными переносами. Шпион стоит вне базы, и радары его не наблюдают. Верно ли, что он обязательно может уйти от базы на расстояние 100 км так, чтобы в процессе радары его не заметили?

2. Нечётное простое число q и ненулевые целые числа x и y таковы, что x ² = 8 y^q +1. Докажите, что y –1 делится на q.

3. Для каждого натурального d ³ 10 найдите наименьшее N, для которого верно следующее утверждение.

Пусть в графе нет изолированных вершин, а каждое его ребро содержится в простом пути из d рёбер. Тогда можно выбросить несколько (возможно, ни одного) рёбер так, чтобы в полученном графе изолированных вершин не появилось, каждое ребро по–прежнему содержалось в простом пути из d рёбер, но не осталось бы простых путей из N рёбер.

4. Найдите все непрерывные функции из множества R ₊ всех неотрицательных действительных чисел в множество R всех действительных чисел, удовлетворяющие условию f (2 x)+ f (2 y) = f (x + y) f (x – y) для всех x ³ y ³ 0.

5. Выпуклый многоугольник A ₁ A ₂… A_n разбит на треугольники диагоналями, не имеющими общих внутренних точек. Обозначим через t_i количество треугольников, примыкающих к вершине A_i. Докажите, что .

6. Дано конечное семейство множеств, каждое из которых содержит хотя бы k ² элементов (число k ³ 2 натурально). Любые два множества пересекаются, причём не больше, чем по k –1 элементу. Докажите, что все элементы можно раскрасить в два цвета так, чтобы никакое множество не оказалось одноцветным.

7. В строку записано k чисел, равных 20,14. Разрешается ставить между ними знаки сложения и умножения, а также скобки. Можно ли при некотором k ≤ 40 получить в результате целое число?

8. Дан выпуклый шестиугольник ABCDEF, в котором Ð A = Ð D и Ð B = Ð E. Точки P и Q — середины сторон AB и DE соответственно. Докажите, что S_FAP + S_CBP + S_CFQ = S_ABCDEF /2 тогда и только тогда, когда FA / FE = CD / CB.

9. Внутри угла XYZ (Ð XYZ = φ) зафиксирована точка P; также зафиксировано число a такое, что φ+2a > p > φ+a. Выбираются всевозможные выпуклые четырёхугольники APBY такие, что точки A и B лежат на лучах YX и YZ соответственно, и Ð APB = a. Докажите, что внутри угла XYZ существует такая точка Q ¹ P, что величина угла AQB не зависит от выбора точек A и B.

10. На окружности стоят n фишек. За ход можно взять две из них и переместить в противоположных направлениях на равные дуги. Докажите, что не более, чем за n –1 ход можно добиться того, чтобы точки, в которых стоят фишки, образовывали правильный n -угольник. (В исходной позиции и по ходу перемещения две или больше фишек могут находиться в одной точке.)

Семнадцатый международный математический турнир старшеклассников

“Кубок памяти А.Н. Колмогорова”

Сахареж, 1-8 ноября 2013 года

Второй тур 04.11.13. Первая лига.

1. Военная база имеет форму выпуклого многоугольника. В некоторых её точках расставлены радары. У каждого радара под наблюдением находится круг с центром в точке базы, где стоит этот радар (круги могут быть различными). Шпион стоит вне базы, и радары его не наблюдают. Верно ли, что он обязательно может уйти от базы на расстояние 100 км так, чтобы в процессе радары его не заметили?

2. Дан треугольник ABC, в котором угол A тупой. Пусть O и H — центр описанной окружности и ортоцентр этого треугольника соответственно. Точка K симметрична точке H относительно A. Докажите, что точки K, O и C лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда Ð A –Ð B = 90°.

3. Для каждого натурального d ³ 10 найдите наименьшее N, для которого верно следующее утверждение.

Пусть в графе нет изолированных вершин, а каждое его ребро содержится в простом пути из d рёбер. Тогда можно выбросить несколько (возможно, ни одного) рёбер так, чтобы в полученном графе изолированных вершин не появилось, каждое ребро по–прежнему содержалось в простом пути из d рёбер, но не осталось бы простых путей из N рёбер.

4. Найдите все последовательности a ₀, a ₁, a ₂,... действительных чисел, в которых | a ₂₀₁₃| ≤ 2, и для любых целых n ³ k ³ 0 выполнено соотношение a_{n + k} + a_{n – k} = a_na_k.

5. Выпуклый многоугольник A ₁ A ₂… A_n разбит на треугольники диагоналями, не имеющими общих внутренних точек. Обозначим через t_i количество треугольников, примыкающих к вершине A_i. Докажите, что .

6. Во Дворце творчества юных работают 2013 кружков. Для любых двух кружков найдутся два школьника, посещающих оба этих кружка. Докажите, что часть школьников можно принять в пионеры, а остальных — в скауты так, чтобы в каждом кружке занимались и пионеры, и скауты.

7. В строку записано k чисел, равных 20,14. Разрешается ставить между ними знаки сложения и умножения, а также скобки. Можно ли при некотором k < 50 получить в результате целое число?

8. Дан выпуклый шестиугольник ABCDEF, в котором Ð A = Ð D и Ð B = Ð E. Точки P и Q — середины сторон AB и DE соответственно. Докажите, что S_FAP + S_CBP + S_CFQ = S_ABCDEF /2 тогда и только тогда, когда FA / FE = CD / CB.

9. Целые числа a, b, c, большие 1, взаимно просты в совокупности. Найдите все возможные значения НОД(a ² b + b ² c + c ² a, ab ²+ bc ²+ ca ², a + b + c).

10. На окружности стоят n фишек. За ход можно взять две из них и переместить в противоположных направлениях на равные дуги. Докажите, что не более, чем за n –1 ход можно добиться того, чтобы точки, в которых стоят фишки, образовывали правильный n -угольник. (В исходной позиции и по ходу перемещения две или больше фишек могут находиться в одной точке.)

Семнадцатый международный математический турнир старшеклассников

“Кубок памяти А.Н. Колмогорова”

Сахареж, 1-8 ноября 2013 года