Задачи для контрольной работы №1




 

Задачи 1 – 10.

Определить реакции стержней, удерживающих грузы F1 и F2. Массой стержней пренебречь. Схему своего варианта определите по таблице 3 и рис.1.6. Числовые данные определите по таблице 3.

Таблица 3 (к задачам 1 – 10)

№ задачи и № схемы на рис.1.6 F1 F2
                    Н
Варианты  
                       
                       
                       
                       
                       
                       
                       
                       
                       
                       

 

 

Рис.1.6


 

 

Задачи 11 – 20.

Определить реакции опор двухопорной балки. Схему своего варианта определите по таблице 4 и рис.1.7. Числовые данные определите по таблице 4.

Таблица 4 (к задачам 11 – 20)

№ задачи, № схемы на рис.1.7 Вариант q F M
Н/м Н Нм
11; 1        
       
       
  1,5    
       
       
       
  4,5    
       
       
12; 2        
  4,5    
       
    2,5  
  3,5    
       
       
  1,5    
       
       
13; 3        
  2,5    
       
       
       
       
  4,5    
       
       
  3,5    

Продолжение табл.4

14; 4        
       
       
       
       
       
       
       
       
       
15; 5        
  4,5    
       
  1,5    
  2,5    
       
       
       
  5,5    
       
16; 6        
  3,5    
  0,5    
       
       
  4,5    
       
       
  8,5    
       
17; 7        
       
       
       
       
       
       
       
       
       

Продолжение табл.4

18; 8        
  6,5    
       
  2,5    
       
       
       
  1,5    
       
       
19; 9        
  1,5    
       
       
       
       
       
       
       
       
20; 10        
       
       
       
       
       
       
       
       
       

 


 

 
 
Рис.1.7

Методические указания К ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ№2


Первая задача (задачи 21-30) требует от студентов умения строить эпюры продольных сил, нормальных напряжений и определять удлинения или укорочения брусьев.(1, тема 2.2, §§ 2.6-2.7,с.)

 

При работе бруса на растяжение и сжатие силы упругости в поперечных сечениях приводятся к одному внутреннему силовому фактору – продольной силе N. Продольная сила в произвольном поперечном сечении бруса численно равна алгебраической сумме проекций на его продольную ось всех внешних сил оставленной части.

Nz=SFiz оставленной части (2.1.)

Правило знаков: При растяжении NZ – положительная,

При сжатии NZ – отрицательная.

При растяжении и сжатии бруса в его поперечных сечениях возникают нормальные напряжения:

s= N/A (2.2.)

где A – площадь поперечного сечения;

При построении эпюры нормальных напряжений принимается то же правило знаков, что и для продольной силы.

Изменение длины бруса (удлинение или укорочение) равно алгебраической сумме удлинений его отдельных участков и определяется по формуле Гука.

Δl=ΣΔli=Σ(Ni·li/E·Ai) (2.3.)

где Ni, li, Ai – соответственно продольная сила, длина, площадь сечения в пределах каждого участка бруса, E – модуль продольной упругости.

 

Последовательность решения задачи:

1. Разбить брус на участки, начиная со свободного конца. Границами участков являются точки приложения внешних сил и места изменения размеров поперечного сечения.

2. Определить методом сечений значение продольной силы для каждого участка (см. формулу 2.1.), построить эпюру «N». Проведя параллельно оси бруса нулевую линию эпюры, отложить перпендикулярно ей в масштабе полученные значения N(ординаты графика). Через концы ординат провести линии, проставить знаки и заштриховать эпюру линиями, параллельными ординатам.

3. Для построения эпюры нормальных напряжений определить значение напряжения σ в поперечных сечениях на каждом участке по формуле (2.2.). Эпюра σ на каждом участке изображается прямой, параллельной оси бруса.

4. Перемещение свободного конца определить как сумму удлинений (укорочений) участков бруса по формуле (2.3.).

 

Пример 3.

Для ступенчатого бруса построить эпюру продольных сил, эпюру нормальных напряжений и определить перемещение свободного конца, если материал бруса – сталь. Принять модуль Юнга E=2·105 МПа.

 

Дано: F1=30 кН =30000 Н, F2 = 38кН = 38000Н, F3 = 42кН = 42000Н,

A1 = 1,9см2 = 190мм2, A2 = 3,1см2 = 310мм2. lI=0,3м, lII=0,5м, lIII=0,1м, lIV=0,4м, lV=0,2м.

Решение.

1. Отмечаем участки, как показано на рис.2.1

2. Определяем значения продольной силы N на участках бруса:

NI=0;

NII=F1=30кН=30000Н;

NIII=F1=30кН=30000Н;

NIV=30-38=-8кН=-8000Н;

NV=F1-F2-F3=30-38-42=-50кН=-50000Н;

Строим эпюру «N».

3. Вычисляем значения нормальных напряжений на участках:

σI = NI/A1 = 0;

σII = NII/AI = 30000/190 = 158Н/мм2 = 158 МПа;

σIII = NIII/A2 = 30000/310 = 96,8 Н/мм2 = 96,8 МПа;

σIV = NIV/A2 = - 8000/310 = - 25,8 Н/мм2 = - 25,8 МПа;

σV = NV/A2 = - 50000/310 = - 163 Н/мм2 = - 163 МПа.

Строим эпюру « σ».

4. Определяем перемещение свободного конца:

Δl=ΣΔli = ΔlI+ ΔlII+ ΔlIII+ ΔlIV+ ΔlV

ΔlI=0;

ΔlII= σII·lII/E=158·500/2·105=0,394мм;

ΔlIII= σIII·lIII/E=96,8·l00/2·l05=0,0484мм;

ΔlIV= σIV·lIV/E= - 25,8·400/2·105= - 0,0516мм;

ΔlV= σV·lV/E= - 163·200/2·105= - 0,161мм.

Δl=0,394+0,0484-0,0516-0,161=0,2298мм.

Вывод: Удлинение бруса составит 0,2298мм.


 
 

 


Рис.2.1

 

 

Вторая задача (задачи31-35) может быть решена после изучения темы 2.2 «Осевое растяжение и сжатие», когда получены знания по вопросу об условии прочности и типах расчётов на прочность.

§ Проверка прочности σ=N/A<[σ] (2.4)

§ Проектный расчёт A>N/[σ] (2.5)

§ Определение безопасной нагрузки [N]<A·[σ] (2.6),

где [σ] – допускаемое напряжение материала

В задачах 31-35 рассматриваются стержневые системы, работающие на растяжение и сжатие, для которых необходимо выполнить проектный расчёт, т.е. подобрать размеры сечений, а затем проверить стандартные сечения на прочность.

Последовательность решения задачи:

1. Определить реакции стержней, используя известные уравнения статики для системы сходящихся сил, проверить правильность решения;

2. Для наиболее нагруженного стержня определить площадь поперечного сечения по формуле (2.5);

3. Подобрать по ГОСТ 8509-86 номер профиля угловой равнополочной стали. Данный профиль применить для обоих стержней и выполнить проверку прочности по формуле (2.4).

Пример 4.

Для данной системы двух стержней одинакового поперечного сечения, состоящих из двух равнополочных уголков и нагруженных силой F=170кН, определить:

o Требуемую площадь поперечных сечений стержней;

o Подобрать по ГОСТ 8509-86 номер профиля угловой равнополочной стали, если допускаемое напряжение [σ]=140МПа;

o Определить процент перегрузки или недогрузки стержней по формуле Δσ=(σ-[σ])·100%/[σ].

 

 

 

 


B Рис.2.2

 
 
F

 


 

Решение.

1. В шарнире B приложена плоская система сходящихся сил: F, RA, RC. Определим неизвестные реакции, используя уравнения равновесия:

ΣFix=0 - RA·cos60°+RC·cos45°=0 (1)

ΣFiy=0 RA·cos30°+ RC·cos45°-F=0 (2)

Вычтем из уравнения (1) уравнение (2) и получим

 

-RA·cos60°- RA·cos30°+F=0,

т.е. RA=F/(cos30°+ cos60°)=170кН/(0,866+0,5)=124,45кН

из (1) уравнения RC= RA·cos60°/cos45°=124,45·0,5/0,707=88,01кН

 

Проверка: ΣFix=0 RA·cos75°+ RC-F·cos45°=0

124,45·0,2588+88,01-170·0,707=0

ΣFiy=0 RA·cos15°-F·cos45°=0

124,45·0,966-170·0,707=0, следовательно реакции стержней найдены верно.

 

 

2. Продольные силы в стержнях равны их реакциям. Стержень AB испытывает наибольшую силу при растяжении, поэтому проектный расчёт ведём по NAB.

Требуемая площадь равна:

A>NAB/[σ]=124450Н/140МПа=889мм2=8,89см2

Площадь равнополочного уголка подбираем по ГОСТ 8509-86, номер профиля угловой равнополочной стали с учётом, что уголков в сечении стержня два: №5 Атабл.=4,8см2=480мм2. Таким образом, площадь поперечного сечения равна A=960мм2,

Расчётное нормальное напряжение будет равно:

σ=NAB/A=124450Н/960мм2=129,63МПа

3. Недогрузка по наиболее нагруженному стержню составит:

 

o Δσ=(σ-[σ])·100%/[σ]=(129,63-140)100%/140=7,4%

 


 

В задачах 31-40 рассматривается система трёх стержней с поперечными сечениями, состоящими из двух равнополочных уголков и поддерживающих абсолютно жёсткую балку. Для наиболее нагруженного стержня следует найти допускаемое значение силы F, которая приложена к данной системе.

Последовательность решения задачи:

1. Определить силы в стержнях, используя уравнения равновесия произвольной плоской системы сил, выполнить проверку правильности решения.

2. Определить допускаемое значение силы F, используя формулу для определения безопасной нагрузки из условия прочности при растяжении. Стандартное значение площади сечения равнополочного уголка по ГОСТ 8509-86.

Пример 5.

 

 

Рис.2.4

 

Абсолютно жёсткая балка поддерживается тремя стержнями одинакового поперечного сечения, представляющего собой два равнополочных уголка с размерами 40x40x4. Определить допускаемое значение силы F, если [σ]=160МПа. Весом балки пренебречь.


 

Решение.

1. Выбираем расчётную схему (рис.2.4, а), представляющую собой плоскую стержневую систему, для которой следует определить силы в стержнях, используя уравнения равновесия произвольной плоской системы сил (рис.2.4, б):

ΣFix=0 N2·sin 30° - N3·sin45°=0 (1)

ΣMD(Fi)=0 N1·BD- F·AD=0 (2)

ΣMB(Fi)=0 - F·AB+N2·cos30°·BD+N3· cos 45°·BD=0(3)

Из (2) уравнения N1=F·AD/BD=F·3/2=1,5·F (4)

Из (1) уравнения

N2=N3·sin45º/ sin 30º=N3·0,707/0,5=1,41·N3 (5)

В уравнение (3) подставляем вместо N2 выражение (5):

-F·AB+1,41N3·cos30º·BD+N3·cos45º·BD=0 (6)

Из выражения (6) получим:

N3=F·AB/(1,41·cos30º·BD+cos45º·BD)=F·1/(1,41·0,866·2+0,707·2)=0,26F (7)

Подставляя (7) в выражение (5), получаем:

N2=1,41·N3=1,41·0,26·F=0,366·F

Проверим правильность определения сил N1, N2, N3.

ΣFiy=0 -F-N2·cos30°-N3·cos45°+N1=-F-0,366·0,866·F-0,26·F+1,5·F=0;

Следовательно, все реакции продольные силы определены верно.

2. Так как все три стержня по условию имеют одинаковое поперечное сечение (рис.2.4), то допускаемое значение силы F определяем по наиболее нагруженному стержню 1, т.е. Nmax=N1=1,5F. Подставим в формулу определения безопасной нагрузки при растяжении

[N]=1,5F=[σ]·2A и учитывая, что площадь сечения равнополочного уголка 40*40*4 равна A=3,08см2, получаем значение допускаемой силы

F=[σ]·2A/1,5=160МПа·2·308мм2/1,5=65800Н.

 

Третья задача (задачи 41-50).

К решению этой задачи следует приступить после изучения темы «Кручение».

Кручением называют такой вид нагружения бруса, при котором в его поперечных сечениях возникает один внутренний силовой фактор – крутящий момент Mк (или Mz).

Крутящий момент в каком-либо поперечном сечении равен алгебраической сумме внешних моментов, действующих на оставленную часть бруса:

Mк=ΣMi

Причём имеется в виду, что плоскости действия всех внешних моментов Mi перпендикулярны продольной оси бруса.

Правило знаков:

Крутящий момент считаем положительным, если для наблюдателя, смотрящего на проведённое сечение, внешний момент представляется направленным по часовой стрелке.

В задаче требуется произвести проектный расчёт по условиям прочности и жёсткости, из двух полученных значений диаметра вала следует выбрать наибольшее значение.

Последовательность решения задачи:

1. Определение внешних моментов по формуле, известной из динамики: M=P/ω, где P- мощность (Вт), ω – угловая скорость (рад/с);

2. Определение уравновешивающего момента, из уравнения равновесия вала ΣMi=0, т.к. при равномерном вращении вала алгебраическая сумма внешних моментов равна нулю;

3. Используя метод сечений, вычислить крутящий момент на каждом участке вала и построить эпюру «MK»;

4. Для участка вала, в котором возникает наибольший крутящий момент, определить диаметр вала из условия прочности и жёсткости при кручении (см. формулы 2.1, 2.2, 2.3, 2.4).

Wp>Mk/[τ]k (2.1) d=3√ 16Mk/3,14[τ]k (2.2)

 

Jp>Mk/G[φ]o (2.3) d=4√32Mk/3,14G[φ]o (2.4)

5. Принять диаметр вала по ряду нормальных линейных размеров ГОСТ 6636-69.

 


Пример 6 (задачи 41-50).

Для стального вала постоянного сечения требуется:

1. Определить значения моментов MA, MB, MC, MD;

2. Определить значения крутящего момента Mk;

3. Построить эпюру «Mk»;

4. Определить диаметр вала из условия прочности при кручении, если допускаемое напряжение [τ]k=30МПа;

5. Определить диаметр вала из условия жёсткости при кручении, если допускаемый угол закручивания [φ]0=0,02рад/м, модуль сдвига стали G=8·104 МПа и принять диаметр по ГОСТ 6636-69.

Дано: PB=25кВт, PC=32кВт, PD=28кВт, ω =201/с;

Решение.

1. Определяем внешние вращающие моменты MB, MC, MD:

MB = PB/ ω =25000Вт/20 1/с=1250Нм

MC = PC/ ω =32000/20=1600Нм

MD = PD / ω =28000/20=1400Нм

2. Определяем уравновешивающий момент MA:

Σ Mi=0 MA- MB- MC- MD =0

MA= MB+ MC+ MD=1250+1600+1400=4250Нм;

3. Определяем крутящий момент по участкам вала:

MkI= MA=4250Нм;

MkII= MA- MB=4250-1250=3000Нм;

MkIII= MA- MB- MC=4250-1250-1600=1400Нм

Строим эпюру «Mk»

4. Определяем диаметр вала из условия прочности при кручении:

Mkmax=4250Нм (рис.2.5)

Wp>Mk/[τ]k=4250·103Нмм/30МПа=141667мм3

d= 16·wp/π= 16·141667/3,14=85,7мм;

5. Определяем диаметр вала из условия жёсткости при кручении:

Jp>Mk/G[φ]o=4250·103/8·104·0,02·10-3=2656250мм4

d= 32·Jp/π = 32·2656250/3,14 =72,13мм;

Вывод: требуемый диаметр получился больше из условия прочности, поэтому принимаем d=90мм.

 

Рис.2.5
Эпюра «Mk»
 
 
 
 
 

 


Четвёртая задача (задачи 51-60).

К решению этой задачи следует приступить после изучения темы «Изгиб». Изгиб – это вид нагружения бруса, при котором силы действуют в главных плоскостях инерции бруса, т.е. плоскостях, проходящих через ось бруса. При изгибе силы упругости приводятся к двум внутренним силовым факторам: поперечной силе Q и изгибающему моменту Mx.

Поперечная сила в каком-либо сечении равна алгебраической сумме проекций сил оставленной части на ось параллельную силам:

Q =ΣFiy оставленной части (2.4)

Изгибающий момент в каком-либо сечении равен алгебраической сумме моментов сил оставленной части относительно центра тяжести сечения:

Mx=ΣMc(Fi)оставленной части (2.5)

F
Правило знаков для поперечной силы Q

 

                 
   
     
+
 
 
   
Левая часть
 
 
   
-
 
 

 


 

Рис.2.6

 

-
+ +
Правило знаков для изгибающего момента Mx

                               
     
       
M
 
M
 
 
 
     
   
M
     
M
 

 


Рис.2.7

 


Правила построения эпюр Q и Mx

Для эпюры поперечных сил:

1. На участке, нагруженном равномерно распределённой нагрузкой, эпюра изображается наклонной прямой.

2. На участке, свободном от распределённой нагрузки, эпюра изображается прямой, параллельной оси эпюры.

3. В сечении балки, где приложена сосредоточенная сила, значение поперечной силы меняется скачкообразно на величину приложенной силы.

4. В сечении, где приложена пара сил, поперечная сила не изменяет значения.

5. В концевом сечении балки поперечная сила равна сосредоточенной силе (активной или реактивной), приложенной в этом сечении. Если в концевом сечении не приложена сосредоточенная сила, то поперечная сила равна нулю.

Для эпюры изгибающих моментов:

1. На участке, нагруженном равномерно распределённой нагрузкой, эпюра изображается квадратично параболой. Выпуклость параболы направлена навстречу нагрузке.

2. На участке, свободном от распределённой нагрузки, эпюра изображается прямой, наклонной к оси эпюры.

3. В сечении, где приложена пара сил. Изгибающий момент изменяется скачкообразно на значение, равное моменту приложенной пары.

4. В сечении балки, где приложена сосредоточенная сила, изменяется угол наклона прямой.

5. В концевом сечении балки изгибающий момент равен нулю, если не приложена пара сил.

6. На участке, где поперечная сила равна нулю, эпюра изображается прямой параллельной оси.

Условие прочности для балок с сечениями, симметричными относительно нейтральной оси, имеет вид:

σmax= Mx max /wx<[σ] (2.6), где - wx – осевой момент сопротивления

Для подбора надёжных размеров балок (проектного расчёта) из условия прочности определяется осевой момент сопротивления:

wx> Mx max/[σ] (2.7), а затем по найденному моменту сопротивления подбирают номер профиля балок двутавровых или из швеллера по соответствующему ГОСТу.

Последовательность решения задачи:

1. Балку разделить на участки по характерным сечениям.

2. Определить вид эпюры Q на каждом участке, в зависимости от внешних нагрузок, вычислить поперечные силы в характерных сечениях по формуле (2.4). Построить эпюру «

3. Определить вид эпюры Mx на каждом участке в зависимости от внешних нагрузок, вычислить изгибающие моменты в характерных сечениях по формуле (2.5). Построить эпюру «Mx ».

4. произвести проектный расчёт по формуле (2.7), т.е. определить wx в опасном сечении, где изгибающий момент имеет наибольшее по модулю значение.

5. Подобрать сечение двутавра по ГОСТ 8239-86 (см. приложение 1).

Пример 7 (Задачи 51-60).

Для стальной балки, жёстко закреплённой одним концом и нагруженной системой сил, как показано на рис. 2.9 (схемы 1-10) построить эпюры поперечных сил «Q» и изгибающих моментов «Mx». Подобрать сечение двутавра для балки, если допускаемое напряжение [σ]=160МПа.

Данные своего варианта взять в таблице 8.

Решение.

§ Делим балку на участки, ограниченные точками A,B,C (рис.2.8).

§ Определяем значения поперечной силы Q на участках I,II,III

QI=-F2=-1кН, QII=-F2+F1=-1+2=1кН; строим эпюру «Q»

§ Определяем значения изгибающего момента Mx в характерных сечениях участков I,II,III и строим эпюру.

I участок MxA=0; MxB=F2·AB=1·3=3 кНм;

II участок MxB= F2·AB+M=1·3+12=15 кНм;

MxC=F2·5+M-F1·2=1·5+12-2·2=13 кНм;

§ Строим эпюру «Mx»(рис.2.8);

§ Определяем опасное сечение – точка B, где Mx max=15 кНм;

Осевой момент сопротивления

wx= Mxmax/[σ]=15·106Нмм/160МПа=93700мм3=93,7см3

В соответствии сГОСТ8239-86 выбираем двутавр №16 wxтабл=109см3.

 
 

 

 


Рис.2.8


Пятая задача (задачи 61-70).

Для решения данной задачи следует использовать методические указания к четвёртой задаче. Последовательность решенияизложена в предыдущем примере.

RD
y
Пример 8. Для заданной двухопорной балки определить реакции опор, построить эпюры «Q » и «Mx », определить размеры поперечных сечений круга и квадрата, сравнить их по расходу металла, если допускаемое напряжение [σ]=160МПа.(Рис.2.9)


Рис.2.9


Решение.

1. Определяем реакции опор балки:

ΣΜD=0; -F1·DO+RB·DB+F2·DC+M2- M1=0; (1)

ΣMB=0; -F1·BO+M2-F2·BC –M1-RD·BD=0; (2)

Из (1) уравнения определим RB:

RB=(M1- F2·DC- M2+ F1·DO)/ DB=(20-30·6-10+18·15)/10=10кН;

Из (2) уравнения определим RD:

RD=(- F1·BO+ M2- F2·BC- M1)/ BD=(-18·5+10-30·4-20)/10=-22кН;

Проверка:ΣFiy=0; - F1+ RB+ F2+ RD=0; -18+10+30-22=0

2. Расчёт эпюры поперечной силы «Q»:

Участок 0B QО= - F1=-18кН; QB=- F1=-18кН;

Участок BC QB= - F1+ RB =-18+10=-8кН; QC=-18+10=-8кН;

Участок CD QC= - F1+ RB+ F2 = -18+10+30=22кН;

QD= - F1+ RB+ F2 = -18+10+30=22кН;

3. Строим эпюру «Q» (рис.2.9)

4. Расчёт эпюры изгибающего момента «Mx»

Участок 0B MxO=0; MxB= -F1·BO= -18·5= -90 кНм;

Участок BC MxB= - F1·BO= -90кНм;

MxC= - F1·CO + RB·BC= -18·9 +10·4 = -122 кНм;

Участок CD MxC= - F1·CO + RB·BC +M2 =-18·9 +10·4 +10= -112кНм

MxD= - F1·DO + RB·DB+ M2+ F2·DC=

= -18·15+10·10+10+30·6=20кНм;

Строим эпюру «Mx» (рис.2.9)

5. Проектный расчёт: определяем осевой момент сопротивления

Wx=Mxmax/[σ]=122·106Нмм/160МПа=762,5·103мм3=762,5см3;

6. Используя формулу осевого момента сопротивления прямоугольника Wx=b·h2/6 и учитывая, что h=2b, находим b=(6·wx/4)1/3=(6·762,5·103/4)1/3=104,3мм; принимаем b=105мм; h=2·105=210мм;

7. Используя формулу осевого момента сопротивления круга Wx=π·d3/32, определим диаметр круглого сечения

d=(32· Wx/π)1/3=(32·762,5·103/3,14)1/3=197,6мм; принимаем d=200мм.

8. Сравнение сечений прямоугольника и круга по расходу металла:

mкруга/mпрямоугольника= Aкруга/Aпрямоугольника=

π·d2/4b·h=3,14·2002/4·105·210=1,42;

Вывод: рациональнее по расходу металла применить сечение прямоугольника.

 




Поделиться:




Поиск по сайту

©2015-2024 poisk-ru.ru
Все права принадлежать их авторам. Данный сайт не претендует на авторства, а предоставляет бесплатное использование.
Дата создания страницы: 2019-04-29 Нарушение авторских прав и Нарушение персональных данных


Поиск по сайту: