энергии к изучению движения механической системы




Механическая система под действием сил тяжести приходит в движение из состояния покоя; начальное положение системы показано на схемах а-и Приложения А. Учитывая трение скольжения тела 1 (схемы а-е, з-к) и сопротивление качению тела 3, катящегося без скольжения (схемы б, г, е-и), пренебрегая другими силами сопротивления и массами нитей, предполагаемых нерастяжимыми, определить скорость тела 1 в момент, когда пройденный им путь станет равным S.

В задании приняты следующие обозначения: m1, m2,m3,m4 – массы тел 1, 2, 3, 4; R2, r2, R3 r3 радиусы больших и малых окружностей; i2x, i3x – радиусы инерции тел 2 и 3 относительно горизонтальных осей проходящих через их центры тяжести; a и b - углы наклона плоскостей к горизонту; f – коэффициент трения скольжения; d - коэффициент трения качения.

Необходимые для решения данные приведены в таблице 2. Блоки и катки, для которых радиусы инерции в таблице не указаны, считать сплошными однородными цилиндрами.

Наклонные участки нитей параллельны соответствующим наклонным плоскостям.

 


Приложение А

Схемы заданий к задаче Д-2

 

 

(а)

 

 

(б)


 

 


(в)

 

(г)

 

(д)


 

 
 

(е)

 

 

 

(ж)

 

 

(з)

 

 

 

 

 

(и)

 

 

 

(к)


Таблица 2– Исходные данные к задаче Д-2

 

№ варианта № с х е мы m1 m2 m3 m4 R2 R3 i2x i3x a b f d, см S, м
  кг   cм   см   град
  а m 4 m 1/5m 4/3m - - - - -   0,10 -  
  б m ½ m 1/3m - -   -       0,22 0,20  
  в m m 1/10m m - - - -   - 0,10 -  
  г m ½ m 1/4m   -   -       0,17 0,20 2,5
  д m 1/3m 1/10m -   -   -   - 0,15 - 1,5
  е m 3m m - -   - -     0,10 0,28 1,5
  ж m 2m 2 m -       -   - - 0,20  
  з m ½ m 1/3m - -   - -     0,15 0,20 1,75
  и m 2m 9m - -   -     - 0,12 0,25 1,5
  к m 1/4m 1/4m 1/5m - - - -   - 0,10 -  
  а m 3m 1/4m 2/3m - - - - -   0,15 - 1,8
  б m 1/3m 1/4m - -   -       0,20 0,30  
  в m 2m 1/5m 1/8m - - - -   - 0,15 - 2,5
  г m 1/3m 1/5m - -   -       0,20 0,25  
  д m ½ m 1/12m m   -   -   - 0,10 -  
  е m 2m 1/3m - -   - -     0,15 0,20  
  ж m 1,5 m 3/2m -       -   - - 0,15 2,5
  з m m 1/4m - -   - -     0,20 0,15  
  и m 3m 5m - -   -     - 0,15 0,20  
  к m 1/3m 1/5m 1/5m - - - -   - 0,12 - 2,5
  а m 2m 1/3m m - - - - -   0,20 - 1,75
  б m 1/4m 1/5m - -   -       0,12 0,25 1,5
  в m 3m 1/8m 1/2m - - - -   - 0,12 -  
  г m 1/4m 1/6m - -   -       0,18 0,15 1,5
  д m ½ m 1/10m m   -   -   - 0,15 - 2,5
  е m 4m 1/2m - -   - -     0,20 0,25 1,8
  ж m 3m m -       -   - - 0,20  
  з m 1/3m 1/2m - -   - -     0,15 0,25 2,5
  и m 2m 7m - -   -     - 0,20 0,15  
  к m ½ m 1/4m 1/6m - - - -   - 0,15 -  
                               

 

Пример выполнения задания:

Дано: m1 – масса груза 1, m2 = m1, m3 = 2m1, R2 =20 см, R3 = 30 см, r2 = 15 см, i2x =17 см, a 300, b = 600, f = 0,2, d = 0,25 см, S = 6 м. Каток 3 – однородный сплошной цилиндр. На рисунке Д-2.1,а показана механическая система в начальном положении.

Найти - скорость груза 1 в конечном положении.

 

 

Рисунок 3

Схема механизма в начальном положении

 

 

 
 

Рисунок 4

Схема скоростей точек.

 

 

 
 

Рисунок 5

Схема сил, действующих на механическую систему.

 

Р е ш е н и е:

 

Применим теорему об изменении кинематической энергии системы:

 

Т-Т0 = , (1)

 

где Т и Т0 кинетическая энергия системы в начальном и конечном положениях;

- сумма работ внешних сил, приложенных к системе, на перемещении системы из начального положения в конечное;

- сумма работ внутренних сил системы на том же перемещении.

Для рассматриваемой системы, состоящей из абсолютно твердых тел, соединенных нерастяжимыми нитями,

 

= 0.

 

Так как в начальном положении система находится в покое, то Т0 = 0.

Следовательно, уравнение (1) принимает вид

 

Т0 = . (2)

 

Для определения кинетической энергии Т и суммы работ внешних сил

 

надо изобразить систему в конечном положении (рисунок 4-5).

Напишем кинематические соотношения между скоростями и перемещениями точек системы, т.е. уравнения связей, при этом скорости и перемещения выразим соответственно через скорости и перемещения груза 1.

Вращательная скорость точек обода каждого из барабанов 2 равна скорости движения сходящей с барабана нити (рисунок 4).

Следовательно,

 

и ,

 

где - угловая скорость барабанов,

- скорость центра тяжести С катка 3.

 

. (3)

 

Так как каток 3 катится без скольжения, то мгновенный центр скоростей катка находится в точке Р. Поэтому угловая скорость катка 3 равна

 

. (4)

 

Вычислим кинетическую энергию системы в конечном положении как сумму кинетических энергий тел 1, 2, 3:

 

Т = Т1 + Т2 + Т3. (5)

 

Кинетическая энергия груза 1, движущегося поступательно,

 

Т1 = .

 

Кинетическая энергия барабанов 2, вращающегося вокруг неподвижной оси,

Т2 = ,

 

где - момент инерции барабанов относительно оси вращения ОХ:

 

= m2 .

 

Кинетическая энергия катка 3, совершающего плоское движение,

 

Т3 = ,

 

где - момент инерции катка 3 относительно его центральной оси СХ:

 

= .

 

Подставляя заданные значения масс, моментов инерции, найденные величины , и в выражение (5) получаем следующее значение кинетической энергии системы

 

Т =

 

или

 

Т = 2,93 . (6)

 

Найдем сумму работ всех внешних сил, приложенных к системе на заданном ее перемещении. Покажем внешние силы, приложенные к системе (рисунок 5).

Работа силы тяжести

 

. (7)

 

Работа нормальных реакций и равна нулю.

Работа силы трения скольжения

 

.

 

Так как

 

,

 

то

 

. (8)

Силы , и не производят работы, так как они приложены к неподвижной точке.

Работа силы

 

, (9)

 

где Sc – перемещение центра тяжести катка.

Работа силы Fcц равна нулю, так как она приложена в мгновенном центре скоростей.

Работа пары сил сопротивления качению катка 3

 

Амс = - Мс ,

 

Мс = d N3 = d G3 cosa - момент пары сил сопротивления качению;

где угол поворота катка 3.

Таким образом,

 

Амс = - d m3 g cos a . (10)

 

Сумма работ всех внешних сил определяется сложением работ, вычисляемых по формулам (7, 8, 9, 10):

 

(11)

 

Перемещение центра тяжести катка Sc и угол поворота выразим через перемещение груза S. Так как линейные (или угловые) перемещения находятся в такой же зависимости, как линейные (или угловые) скорости, то в соответствии с формулами (3) и (4), получаем:

 

и .

 

Подставим эти значения в выражение (11):

 

,

 

или

 

0,004 m1gS. (12)

 

Ссогласно теореме (2), приравниваем значения Т и , определяемые по формулам (6) и (12):

 

2,93 = 0,004 m1gS,

 

откуда

 

v1 = 0,40 м/с.


3.4 СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

 

1 Никитин Н.Н. Курс теоретической механики. М.: Высшая школа, 1990

2 Тарг С.М. Краткий курс теоретической механики. М.: Высшая школа, 1998

3 Яблонский А.А., Никифорова В.М. Курс теоретической механики. Ч. 1,2, Санкт-Петербург, изд. «Лань», 1998

4 Бутенин Н.В., Лунц Я.Л., Меркин Д.Д. Курс теоретической механики. Т. 1,2, Санкт-Петербург, Изд. «Лань», 1998

5 Мещерский И.В. Сборник Задач по теоретической механике. М.: высшая школа, 1985

6 Сборник заданий для курсовых работ по теоретической механике. Под ред. А.А.Яблонского,М.: ВШ – 1972

7 Теоретическая механика. Методические указания и контрольные задания для студентов-заочников строительных, транспортных, машиностроительных и приборостроительных специальностей высших учебных заведений. Под ред. С.М.Тарга, М.:ВШ – 1982

8 Синдеев П.Р. Методические указания, рабочая программа, контрольные задачи и задания на курсовые работы по теоретической механике для студентов-заочников специальности 1902 «Подземная разработка месторождений полезных ископаемых». Усть-Каменогорск, 2001

9 Есипенко Л.П., Синдеев П.Р. Теоретическая механика. Методические указания и задания. Усть-Каменогорск, 2000

10 Бать М.И., Джанелидзе Г.Ю., Кельзон А.С. Теоретическая механика в примерах и задачах. Ч. 1, 2. М., 1961 и последующие издания.

 



Поделиться:




Поиск по сайту

©2015-2024 poisk-ru.ru
Все права принадлежать их авторам. Данный сайт не претендует на авторства, а предоставляет бесплатное использование.
Дата создания страницы: 2019-04-29 Нарушение авторских прав и Нарушение персональных данных


Поиск по сайту: