Тема 5 - 6. МНК для нелинейных моделей регрессии. Линеаризация. Коэффициент эластичности.

Задача 13. Могут ли следующие уравнения быть преобразованы в уравнения, линейные по параметрам?

а)

б)

в)

г)

Решение. Уравнения б) и г) не могут быть преобразованы в уравнения линейные по параметрам, т.е. они нелинейные по параметрам

А а) и в) могут, если прологарифмировать обе части уравнения.

а)

- уравнение линейное по параметрам

в)

- уравнение линейное по параметрам

Решение типовых задач:

Пример 1

По семи территориям Уральского района за 200Х г. известны значения двух признаков (табл. 1.1).

Таблица 1.1

Номер региона	Расходы на покупку продовольственных товаров в общих расходах, %, у	Среднедневная заработная плата одного работающего, тыс. руб., х
	68,8	4,5
	58,3	5,9
	62,6	5,7
	52,1	7,2
	54,5	6,2
	57,1	6,0
	51,0	7,8

Требуется: 1. Для характеристики зависимости у от х рассчитать параметры следующих функций:

а) линейной; б) степенной; в) показательной; г) полулогарифмической; д) обратной; е) равносторонней гиперболы.

2. Найти показатели тесноты связи по каждой модели.

3. Оценить каждую модель через показатель детерминации, среднюю ошибку аппроксимации , - критерий Фишера и выбрать наилучшую из них.

Решение: 1а. Для расчета параметров а и b линейной регрессии

решаем систему нормальных уравнений относительно: и :

По исходным данным рассчитываем ,

Таблица 1.2

	у	х	ух	х²	у²			А_i
	68,8	4,5	309,6	20,25	4733,44	67,1	1,7	2,47
	58,3	5,9	343,97	34,81	3398, 89	59,3	-1,0	1,72
	62.6	5,7	356, 82	32,49	3918,76	60,4	2,2	0,51
	56,7	7,2	375,12	51,84	2714,41	52,2	-0,1	0,19
	55,0	6,2	337,9	38,44	2970,25	57,7	-3.2	5,87
	54,3		342,6		3260,41	58,8	-1,7	2,98
		7,8	397,8	60,84	2601,00	48,9	2,1	4,12
Итого	404,4	43,3	2463,81	274,67	23597,16	404,4	0,0	20,86
Среднее значение	57,77	6,186	351,97	39,24	3371,02	-	-	3,48
	5,80	0,9676
	33,65	0,9363

Уравнение регрессии: С увеличением среднедневной заработной платы на 1 руб. доля расходов на покупку продовольственных товаров снижается в среднем на 0,35 процентных пункта.

Рассчитаем линейный коэффициент парной корреляции:

Связь умеренная, обратная.

Определим коэффициент детерминации:

Вариация результата на 7,7% объясняется вариацией факторах х. Подставляя в уравнение регрессии фактические значения х, определим теоретические (расчетные) значения у_х. Найдем величину средней ошибки аппроксимации :

Точность модели высокая, в среднем расчетные значения отклоняются от фактических на 2,98 %.

Рассчитаем F-критерий:

. Табличное значение F-критерия при числе степеней свободы 1 и 5 и уровне значимости 0,05 составит F_т =6,61. Т.е. фактическое значение больше табличного, это указывает на статистическую значимость уравнения регрессии.

1б. Построению степенной модели предшествует процедура линеаризации переменных. В примере линеаризация производится путем логарифмирования обеих частей уравнения:

где Для расчетов используем данные табл. 1.3. Рассчитаем С и b:

Получим линейное уравнение:

Выполнив его потенцирование, получим:

Подставляя в данное уравнение фактические значения х, получаем теоретические значения результата . По ним рассчитаем показатели: тесноты связи - индекс корреляции р_ху и среднюю ошибку аппроксимации :

Характеристики степенной модели указывают, что она несколько лучше линейной функции описывает взаимосвязь.

Таблица 1.3

	Y	X	YX	Y²	X²
	4,2316	1, 5042	6, 364	17,901	4,228	68,6	0,2	0,04	0,29
	4,0660	1,7754	7,2174	16,532	4,071	58,6	-0,3	0,09	0,52
	4,1374	1,7404	7.198	17,115	4,092	59,9	2,7	7,29	4,31
	3,9532	1,9741	7,803	15,626	3,957	52,3	-0,2	0,04	0,39
	3,948	1,8252	7,296	15,984	4,042	56,9	-2,4	5,76	4,4
	4,0452	1, 7926	8,076	16,362	4,062	58,1	-1,0	1,0	1,75
	3, 932	2,0543	2,9487	15,461	3,910	49,9	1,1	1,21	2.16
Итого	28,362	12,664	51,203	114,981	23,098	404,3	0,1	15,43	13,79
Среднее значениее	4, 052	1,8090	7,315	16,426	3,30				1,97
	0,0854	0,1659
	0,0073	0,0275

1в. Построению уравнения показательной кривой

предшествует процедура линеаризации переменных при логарифмировании обеих частей уравнения:

где

Для расчетов используем данные табл. 1.4.Значения параметров регрессии А и В составили:

Получено линейное уравнение:

Произведем потенцирование полученного уравнения и запишем его в обычной форме:

Тесноту связи оценим через индекс корреляции :

 Связь умеренная. , что говорит о повышенной ошибке аппроксимации, но в допустимых пределах. Показательная функция чуть хуже, чем степенная, она описывает изучаемую зависимость.

Таблица 1.4

	Y	x	Yx	Y²	х²				A_i
	4,2316	4,5	19,0422	17,901	20,25	60,7	8,1	65,61	11,8
	4,0660	5,9	23,9894	16,532	34,81	56,4	4,8	23,04	7,8
	4,1374	5,7	23,5832	17,115	32,49	56,9	3,0	9,00	5,0
	3,9532	7,2	28,4256	15,626	51,84	55,5	1,2	1,44	2,1
	3,948	6,2	24,4776	15,984	38,44	56,4	-1,4	1,96
	4,0452		24,2712	16,362		60,0	-5,7	32,49	10,5
	3, 932	7,8	30,6696	15,461	60,84	57,5	-8,2	67,24	16,6
Итого	28,362	43,3	174,4588	114,981	274,67	403,4	-1,8	200,78	56,3
Среднее значение	4, 052	6,186	24,9237	16,426	39,238			28,68.	8,0
	0,0425	5,86
	0,0018	34,3396

1г. Уравнение равносторонней гиперболы линеаризуется при замене: Тогда

Для расчетов используем данные таблицы 1.5.

Таблица 1.5

	y	z	yz	z²	y²				A_i
	68,8	0,0222	1,5255	0,000492	4733,44	61,8	7,0	49,00	10,2
	61,2	0,0169	1,0373	0,000287	3745,44	56,3	4,9	24,01	8,0
	59,9	0,0175	1,0472	0,000306	3588,01	56,9	3,0	9,00	5,0
	56,7	0,0162	0,9175	0,000262	3214,89	55,5	1,2	1,44	2,1
		0,0170		0,000289	3025,00	56,4	-1,4	1,96	2,5
	54,3	0,0212	1,1504	0,000449	2948,49	60,8	-6,5	42,25	12,0
	49,3	0,0181	0,8931	0,000328	2430,49	57,5	-8,2	67,24	16,6
Итого	405,2	0,1291	7,5064	0,002413	23685,76	405,2	0,0	194,90	56,5
Среднее значение	57,9	0,0184	1,0723	0,000345	3383,68			27,84	8,1
	5,74	0,002145
	32,9476	0,000005

Значения параметров регрессии а и b составили:

Получено уравнение:

Индекс корреляции: Коэффициент аппроксимации: . Для уравнения равносторонней гиперболы получена наибольшая оценка тесноты связи: (по сравнению с линейной, степенной и показательной регрессиями), остается на допустимом уровне:

где F_табл=6,6>F_факт,а=0,05.

где

Следовательно, принимается гипотеза Н₀ о статистически незначимых параметрах этого уравнения. Этот результат можно объяснить сравнительно невысокой теснотой выявленной зависимости и небольшим числом наблюдений.

Пример 2

По территориям региона приводятся данные за 2008 г. (табл. 1.6).

Таблица 1.6

Номер региона	Среднедушевой прожиточный минимум в день одного трудоспособного, руб., х	Среднедневная заработная плата, руб., у

Требуется:

1. Построить линейное уравнение парной регрессии у от х.

2. Рассчитать линейный коэффициент парной корреляции и среднюю ошибку аппроксимации.

3. Оценить статистическую значимость параметров регрессии и корреляции.

4. Выполнить прогноз заработной платы у при прогнозном значении среднедушевого прожиточного минимума х, составляющем 107% от среднего уровня.

5. Оценить точность прогноза, рассчитав ошибку прогноза и его доверительный интервал.

Решение: 1. Для расчета параметров уравнения линейной регрессии строим расчетную таблицу (табл. 1.7).

Таблица 1.7

	x	у	ух	х²	у²
						-16	12,0
						-4	2,7
						-23	17,2
							2,6
							1.9
							10,8
							0,0
							0,0
							5,3
							3,1

						-10	5,8
Итого							68,8
Среднее значение	85,6	155,8	13484,0	7492,3	24531,4		5,7
	12,95	16,53
	167,7	273,4

Получено уравнение регрессии:

С увеличением среднедушевого прожиточного минимума на 1 руб. среднедневная заработная плата возрастает в среднем на 0,92 руб.

2. Тесноту линейной связи оценит коэффициент корреляции:

Это означает, что 52% вариации заработной платы (у) объясняется вариацией факторах - среднедушевого прожиточного минимума. Качество модели определяет средняя ошибка аппроксимации:

Качество построенной модели оценивается как хорошее, так как не превышает 8-1 0%.

3. Оценку статистической значимости параметров регрессии проведем с помощью t -статистики Стьюдента и путем расчета доверительного интервала каждого из показателей.

Выдвигаем гипотезу Н₀ о статистически незначимом отличии показателей от нуля: .

T_табл для числа степеней свободы и составит 2,23.

Определим случайные ошибки :

Тогда

Фактические значения t -статистики превосходят табличные значения:

поэтому гипотеза Н₀ отклоняется, т.е. и не случайно отличаются от нуля, а статистически значимы.

Рассчитаем доверительный интервал для a и b. Для этого определим предельную ошибку для каждого показателя:

Доверительные интервалы:

Анализ верхней и нижней границ доверительных интервалов говорит о том, что с вероятностью параметры a и b, являются статистически значимыми.

4. Полученные оценки уравнения регрессии позволяют использовать его для прогноза. Если прогнозное значение прожиточного минимума составит: тыс. руб., тогда прогнозное значение прожиточного минимума составит:

тыс. руб.

5. Ошибка прогноза составит с учетом e:

тыс. руб.

Предельная ошибка прогноза, которая в 95% случаев не будет превышена, составит:

Доверительный интервал прогноза:

руб.; руб.

Выполненный прогноз среднемесячной заработной платы оказался надежным , но недостаточно точным, так как диапазон верхней и нижней границ доверительного интервала составляет 1,95 раза:

Пример 3. По группе предприятий, производящих однородную продукцию, известно, как зависит себестоимость единицы продукции у от факторов, приведенных в табл. 1.8.

Таблица 1.8

Признак-фактор	Уравнение парной регрессии	Среднее значение фактора
Объем производства, млн руб., х₁
Трудоемкость единицы продукции, чел.-час, х₂
Оптовая цена за 1 т энергоносителя, млн. руб., х₃
Доля прибыли, изымаемой государством, %, х₄

Требуется:

1. Определить с помощью коэффициентов эластичности силу влияния каждого фактора на результат.

2.Ранжировать факторы по силе влияния.

Решение:

1. Для уравнения равносторонней гиперболы

Для уравнения прямой

Для уравнения степенной зависимости

Для уравнения показательной зависимости :

2. Сравнивая значения , ранжируем x_j по силе их влияния на себестоимость единицы продукции:

а) ; в) ;

б) ; г) .

Для формирования себестоимости продукции группы предприятий первоочередное значение имеют цены на энергоносители; в гораздо меньшей степени влияют трудоемкость продукции и отчисляемая часть прибыли. Фактором снижения себестоимости выступает размер производства: с ростом его на 1% себестоимость единицы продукции снижается на -0,97%.

Пример 4. Зависимость потребления продукта А от среднедушевого дохода по данным 20 семей характеризуется следующим образом:

уравнение регрессии ;

индекс корреляции ;

остаточная дисперсия .

Требуется: Провести дисперсионный анализ полученных результатов.

Решение: Результаты дисперсионного анализа приведены в табл. 1.9.

Таблица 1.9

Вариация результата у	Число степеней свободы	Сумма квадратов отклонений, S	Дисперсия на одну степень свободы, D	F_факт	F_табл
Общая		6,316	–	–	–
Факторная		5,116	5,116	76,7	4,41
Остаточная		1,200	0,0667	–	–

В силу того что F_факт = 76,7 > F_табл = 4,4, гипотеза о случайности различий факторной и остаточной дисперсий отклоняется. Эти различия существенны, статистически значимы, уравнение надежно, значимо, показатель тесноты связи надежен и отражает устойчивую зависимость потребления продукта А от среднедушевого дохода.

Задача 14.

Определить зависимость урожайности озимой пшеницы от количества внесенных удобрений ,где х - количество удобрений в центнерах (ц) на 1 гектар (га), у - урожайность в ц на 1 га.