Определение температурных напряжений в плоских многослойных пластинах

В многослойных пластинах, подверженных воздействию температуры, могут возникать существенные температурные напряжения, зависящие от различных углов укладки нитей по толщине пакета, значений коэффициентов линейного расширения вдоль и поперек волокон. Для получения разрешающего уравнения рассмотрим упрощенную работу многослойной пластины, т.е. при описании деформации слоев не будем учитывать работу связующего. Однако между слоями связующее обеспечивает связь вплоть до разрушения волокон.

Пусть композиционный материал состоит из n слоев, каждый из которых имеет толщину h _i [1]. Примем, что в выбранной ортогональной системе координат xоy нити в слоях наклонены к оси 0x под углами φ_i. С учетом принятой модели материала усилия в пакете N_x, N_y, N_xy воспринимаются только нитями в слое N _i, имеющими модуль E _i.

Запишем условия статики пакета слоев в плоской задаче в системе xоy:

(2.35)

При этом считаем, что условия равновесия между N_x, N_y и N_{x y} удовлетворяют уравнениям

(2.36)

Усилие N_i в слое связано с напряжением в нитях Ϭ _i зависимостью N_i= Ϭ_i h_i.

Проанализируем работоспособность многослойного пакета при произвольном нагружении. Поскольку в композиционном материале, в основном нагрузку воспринимают волокна, то не будем учитывать работу связующего в слоях.

Однослойная пластина воспринимает нагрузки только вдоль нитей. Двухслойная пластина с разными углами укладки нитей может воспринимать произвольную нагрузку, если нити слоев уложены по траекториям главных напряжений, а их определение является статически определимой задачей. Укладку нитей под переменным углом укладки нитей технологически выполнить трудно. Обычно волокна укладывают под постоянным углом. В этом случае двухслойная пластина может воспринимать нагрузку только в частных случаях нагружения. Например, двухслойная пластина с углами укладки φ=0, φ=π/2 может воспринимать только растяжение или сжатие по направлениям волокон. Пластина, имеющая три слоя с разными углами укладки нитей, может воспринимать произвольные нагрузки. Во всех перечисленных структурах воздействие температуры не вызовет термических напряжений.

Задача для трехслойной пластины в общем случае нагружения, являясь статически неопределимой, содержит в качестве неизвестного статическую функцию напряжения плоской задачи. Если усилия трехслойной пластины N_x, N_y, N_xy связаны с усилиями в нитях слоя соотношениями (2.35), то усилия однозначно выразятся через усилия из этих соотношений.

Введение в пакет дополнительного слоя соответственно увеличивает на единицу число дополнительных лишних функций.

Рассмотрим случай, когда в пакете больше трех слоев на примере расчета прямоугольной пластинки типа обшивки летательного аппарата. Обычно такая обшивка из композиционных материалов состоит из слоев, имеющих четыре угла укладки (φ₁ = 0, φ₂ = - φ₃ = π/4, φ₄ = π/2), так как в этом случае они обеспечивают конструкции необходимую жесткость, а слои способны воспринимать нагрузки, отличающиеся своим знаком. Статическую неопределимость раскроем с помощью принципа наименьшей работы введением функции напряжений ψ в виде, когда усилия в пластине удовлетворяют уравнениям равновесия (2.36)

Использовав соотношения (2.35), выразим усилия в слоях 1, 2 и 4 для четырехслойного пакета в виде:

Через функцию напряжения эти усилия запишутся

(2.37)

Соотношение для дополнительной потенциальной энергии пластины запишем в осях, связанных с направлением волокон слоя:

где Ϭ _i и ε_i – напряжения и деформации i -го слоя; h _i - толщина этого слоя; F - площадь пластины.

Учитывая, что , а , запишем:

где E _i - модуль упругости i -го слоя; α _i - коэффициент линейного расширения i -го слоя вдоль волокон; t(α,β) - температура нагрева или охлаждения, постоянная по толщине.

Учитывая соотношения (2.37), получаем окончательное выражение для функционала

Варьируя по параметрам ψ и N₃, получим разрешающую систему уравнений совместности

(2.38)

(2.39)

где

Для симметричной структуры пакета, когда h₂E₂ = h₃E₃ и α₂ = α₃ имеем

Если структура пакета содержит материалы с разными коэффициентами α_i, то усилия в нитях возникнут и при постоянном температурном поле нагрева пластины (t=const).

Температурная функция T входит в выражение, определяющее дополнительное неизвестное усилие N ₃, и, таким образом она войдет в выражения, определяющие остальные усилия. Для трехслойной пластины, состоящей из одного материала, функция T = 0.

Рассмотрим прямоугольную пластину размером l∙d (рис.2.14). Для простоты решения уравнения (2.35) примем, что слои имеют углы укладки

φ₁ = 0, φ₂ = - φ₃ = π/4, φ₄ = π/2, характеристики α_i = α_t; h_iF_i = hF. Запишем следующие граничные условия для пластины:

при x= 0 и x=l Ϭ_i = 0 и перемещение по y ;

при y= ±d/2 перемещения .

Принимаем, что в отношении координаты x температура меняется по гармоническому закону .

Решение дифференциального уравнения (2.38) будем искать в виде

.

Тогда усилия в пакете равны:

где

Так как задача симметрична относительно координаты x, то C₂=C₄= 0.

Учитывая, что деформация слоя 1 , а деформация слоя 4

, находим перемещения и и константы

C₁ и C₃ на границе y= ± d/2. Если принять для пластины h =0,0005 м; E =1,7 10⁵ МПа; t =120^о; l =0,5 м; d =0,4 м; α_t=12 10^-6 1/град, то в слоях возникнут следующие усилия (в МН/м):

Изменения усилий по слоям при x= 1/2 по y показаны на рис. 2.14.

Рис. 2.14. Изменения усилий в пластине по слоям при x=1/2 по y