Задача 1. Стрелок стреляет в мишень до первого попадания, но не более четырех раз. Вероятность попадания при одном выстреле равна р = 0,6. Дискретная случайная величина Х – число затраченных патронов. Найти распределение вероятностей величины Х, вычислить М (Х), D (X), σ(Х). Определить вероятность Р того, что стрелок израсходует не менее трех патронов. Найти функцию распределения F (x) и построить ее график.
Решение: Все расчеты приведены в таблице 1.3. Случайная величина Х принимает значения Х = n (n = 1, 2, 3, 4). Подсчитаем их вероятности. Пусть вероятность промаха q = 1 – p = 0,4. Очевидно, Р (Х = 1) = р (стрелок попал с первого раза), Р (Х = 2) = qp (стрелок первый раз промахнулся, а во второй раз попал), Р (Х = 3) = q 2 p (стрелок два раза промахнулся, а в третий раз попал), Р (Х = 4) = q 3 p + q 4 (стрелок три раза промахнулся, а в четвертый раз попал; или четыре раза промахнулся, но и в этом случае Х = 4, так как стрелок стреляет не более четырех раз).
| Таблица 1.3 | ||||
| X | P | X·P | X 2· P | F (x) |
| 0,6 | 0,6 | 0,6 | ||
| 0,4 · 0,6 = 0,24 | 0,48 | 0,96 | 0,6 | |
| 0,42 · 0,6 = 0,096 | 0,288 | 0,864 | 0,84 | |
| 0,43 · 0,6 + 0,44 = 0,064 | 0,256 | 1,024 | 0,936 | |
| ∑ | 1,000 | 1,624 | 3,448 |
Расчет математического ожидания случайных величин X и X 2 также приведен в таблице 1.3 по формулам (1.18), (1.22):
M (X) = 
xi pi; M (X 2) = xi 2 pi; D (X) = M (X 2) – (M (X))2.
В столбцах XP и X 2 P записаны значения произведений xi pi и xi 2 pi. В последней строке – суммы элементов соответствующих столбцов.
M (X) = 1,624; M (X 2) = 3,448; D (X) = 3,448 – 1,624 2 ≈ 0,81; σ ≈ 0,9.
Вероятность того, что стрелок израсходует не менее трех патронов соответствует вероятности события X ≥ 3:
P(X ≥ 3) = P (X = 3) + P (X = 4) = 0,096 + 0,064 = 0,16.
Риснок 1.2
Функцию распределения F (х) находим по формуле (1.15) как функцию накопленных вероятностей 
, где суммирование распространяется на все значения индекса i, для которых xi < x. Полученные значения функции распределения записаны в последнем столбце таблицы 1.3.
Искомая функция распределения имеет вид: 
График функции распределения представлен на рис. 1.2.
Ответ: M (X) = 1,624; D (X) ≈ 0,81; σ ≈ 0,9; P (X) = 0,16.
Задача 2. Стрелок делает пять независимых выстрелов в мишень. вероятность попадания в цель при одном выстреле равна 0,6. Случайная величина Х – число попаданий в цель. Найти распределение вероятностей величины Х, вычислить М (Х), D (X), σ(Х). Определить вероятность Р того, что цель будет поражена, т.е. будет хотя бы одно попадание. Найти функцию распределения F (x) и построить ее график.
Решение: Дискретная случайная величина Х имеет биномиальное распределение, где n = 5, р = 0,6, q = 0, 4, тогда вероятности P (X = m) можно вычислить по формуле (1.16):
P (X = 0) = P 5(0) = C 50 p 0 q 5 = (0,4)5 = 0,0102.
P (X = 1) = P 5(1) = C 51 p 1 q 4 = 5 · 0,6 · (0,4)4 = 0,0768.
P (X = 2) = P 5(2) = C 52 p 2 q 3 = 10 · 0,62 · (0,4)3 = 0,2304.
P (X = 3) = P 5(3) = C 53 p 3 q 2 = 10 · 0,63 · (0,4)2 = 0,3456.
P (X = 4) = P 5(4) = C 54 p 4 q 1 = 5 · 0,64 · (0,4) = 0,2592.
P (X = 5) = P 5(5) = C 55 p 5 q 0 = 0,65 = 0,0778.
Проверка: 
pi = 0,0102 + 0,0768 + 0,2304 + 0,3456 + 0,2592 + 0,0778 = 1.
Распределение вероятностей случайной величины Х приведено в табл. 1.4.
Математическое ожидание и дисперсия дискретной случайной величины Х, имеющей биномиальное распределение, могут быть найдены по формулам (1.23):
M (X) = np = 5 · 0,6 = 3; D (X) = npq = (np) q = 3 · 0,4 = 1.2; σ (X) = 
≈ 1,095.
| Таблица 1.4 | ||
| X | P | F (x) |
| (0,4)5 = 0,0102 | ||
| 5 · 0,6 · (0,4)4 = 0,0768 | 0,0102 | |
| 10 · (0,6)2 · (0,4)3 = 0,2304 | 0,087 | |
| 10 · (0,6)3 · (0,4)2 = 0,3456 | 0,3174 | |
| 5 · (0,6)4 · 0,4 = 0,2592 | 0,663 | |
| (0,6)5 = 0,0778 | 0,9222 | |
| ∑ | 1,000 |
Вероятность того, что цель будет поражена, т.е. будет хотя бы одно попадание соответствует вероятности события X ≥ 1.
P (X ≥ 1) = 1 – P (X = 0) = 1 – 0,0102 = 0,9898.
Функцию распределения F (х) находим по формуле (1.15) как функцию накопленных вероятностей , где суммирование распространяется на все значения индекса i, для которых xi < X. Полученные значения функции распределения записаны в последнем столбце таблицы 1.4.
Искомая функция распределения имеет вид: 
.
График функции распределения представлен на рис. 1.3.
Рисунок 1.3
Ответ: M (X) = 3; D(X) = 1,2; σ ≈ 1,095; Р = 0,9898.
Задача 3. В партии из 30 деталей имеется 8 нестандартных, остальные стандартные. Наудачу отобраны 6 деталей. Х – числа стандартных деталей среди отобранных. Найти распределение вероятностей дискретной случайной величины Х, вычислить М (Х), D (X), σ(Х). Определить вероятность Р того, что среди отобранных деталей не более двух нестандартных. Найти функцию распределения F (x) и построить ее график.
Решение: P (X = 0) = Р (все 6 деталей нестандартные) =
=(8/30)(7/29)(6/28)(5/27)(4/26)(3/25) ≈ 0,00005.
P (X = 1) = Р (одна деталь стандартная, остальные нестандартные) =
= 6 · (22/30)(8/29)(7/28)(6/27)(5/26)(4/25) ≈ 0,00207.
Найдена вероятность события: первая вынутая деталь стандартная, остальные нестандартные. Но стандартная деталь может быть вынута первой, второй, третьей, …, шестой, т.е. возможно шесть несовместных событий (вариантов), а искомое событие X = 1 является их суммой. Вероятность каждого варианта одинакова, поэтому найденная вероятность умножена на 6.
P (X = 2) = Р (две детали стандартные, остальные нестандартные) =
= C 62 · (22/30) (21/29) (8/28) (7/27) (6/26) (5/25) ≈ 0,02723.
Найдена вероятность события: две первые вынутые детали стандартные, остальные нестандартные. Эта вероятность умножена на число вариантов, которыми можно вынуть две детали из шести, т.е. на 
.
P (X = 3) = Р (три детали стандартные, остальные нестандартные) =
= C 63 · (22/30) (21/29) (20/28) (8/27) (7/26) (6/25) ≈ 0,1452.
Найдена вероятность события: три первые вынутые детали стандартные, остальные нестандартные. Эта вероятность умножена на число вариантов, которыми можно вынуть три детали из шести, т.е. на 
.
P (X = 4) = Р (четыре детали стандартные, остальные нестандартные) =
= C 64 · (22/30) (21/29) (20/28) (19/27) (8/26) (7/25) ≈ 0,3449.
P (X = 5) = Р (пять деталей стандартные, остальные нестандартные) =
= C 65 ·(22/30) (21/29) (20/28) (19/27) (18/26) (8/25) ≈ 0,3548.
P (X = 6) = Р (все шесть деталей стандартные) =
= (22/30) (21/29) (20/28) (19/27) (18/26) (17/25) ≈ 0,1257.
Распределение вероятностей случайной величины X приведено табл. 1.5. Вероятность события X = 0 получилась равной нулю, так как расчет вероятностей проводился с точностью четыре знака после запятой. При более точном расчете P (X = 0) = 0,000047.
| Таблица 1.5 | ||||
| X | P | XP | X 2 P | F (x) |
| (8/30)(7/29)(6/28)(5/27)(4/26)(3/25) ≈ 0,0000 | 0,0000 | 0,0000 | ||
| 6 · (22/30)(8/29)(7/28)(6/27)(5/26)(4/25) ≈ 0,0021 | 0,0021 | 0,0021 | ||
| 15 · (22/30)(21/29)(8/28)(7/27)(6/26)(5/25) ≈ 0,0272 | 0,0544 | 0,1088 | 0,0021 | |
| 20 · (22/30)(21/29)(20/28)(8/27)(7/26)(6/25) ≈ 0,1452 | 0,4356 | 1,3068 | 0,0293 | |
| 15 · (22/30)(21/29)(20/28)(19/27)(8/26)(7/25) ≈ 0,3450 | 1,3800 | 5,5200 | 0,1745 | |
| 6 · (22/30)(21/29)(20/28)(19/27)(18/26)(8/25) ≈ 0,3548 | 1,7740 | 8,8700 | 0,5195 | |
| (22/30)(21/29)(20/28)(19/27)(18/26)(17/25) ≈ 0,1257 | 0,7542 | 4,5252 | 0,8743 | |
| ∑ | 1,000 | 4,4003 | 20,3329 |
Расчет математического ожидания случайных величин X и X 2 также приведен в таблице 1.5 по формулам (1.18), (1.22). В столбцах XP и X 2 P записаны значения произведений xi pi и xi 2 pi. В последней строке – суммы элементов соответствующих столбцов.
M (X) ≈ 4,4; M (X 2) = 20,3329; D (X) = 20,3329 – 4,40032 ≈ 0,97; σ ≈ 0,985.
Вероятность того, что среди отобранных деталей не более двух нестандартных соответствует вероятности события X ≥ 4.
P (X ≥ 4) = P (X = 4) + P (X = 5) + P (X = 6) = 0,3450+0,3548+0,1257 = 0,8255.
Рисунок 1.4
Функцию распределения F (х) находим по формуле (1.15) как функцию накопленных вероятностей , где суммирование распространяется на все значения индекса i, для которых xi < x. Полученные значения функции распределения записаны в последнем столбце таблицы 1.5.
Искомая функция распределения имеет вид: 
.
График функции распределения представлен на рис. 1.4.
Ответ: M (X) = 4.4; D (X) = 0,97; σ ≈ 0,985; Р = 0,8255.
Оформление отчета
В отчете по типовому расчету должны быть представлены расчеты таблицы распределения заданной случайной величины Х, ее числовых характеристик (математического ожидания, дисперсии, среднего квадратичного отклонения), и вероятности события, заданного в задаче, записаны расчетные формулы и даны необходимые пояснения.
Все числовые значения должны быть вычислены в десятичных дробях, вероятности с четырьмя знаками после запятой, числовые характеристики случайной величины Х – с тремя знаками после запятой.
Литература
1. В.А.Карасев, С.Н. Богданов. Теория вероятностей и математическая статистика. Раздел 1. Теория вероятностей. Учебно-методическое пособие. // М.: Изд-во "Учеба" (МИСиС). – 2003. №1828 – 63 с.