5-е занятие. Векторы.
Повторить: понятие вектора в 
- мерном пространстве, ранга системы векторов, базы (базиса) и его нахождение.
Пример 1. Вычислить ранг системы векторов: 
.
Решение. Проведём ЭП с матрицей: 
. Т.к. 
, то 
ранг системы векторов равен 3.
Пример 2. Найти какую-нибудь базу системы векторов и через неё выразить остальные векторы системы: 
.
Решение. 1). Вычислим ранг системы векторов:
ранг системы векторов равен 3, любые три вектора из пяти образуют базис. В качестве базиса выберем векторы 
. Разложим по этому базису оставшиеся векторы 
и 
.
2). 
, где 
- некоторые числа, определяемые из системы уравнений: 
по методу Гаусса: 
т.е. координаты вектора в базисе есть 
или 
.
3). Аналогично, 
, находим 
или 
.
Задания для решения.
1. Вычислить ранги системы векторов:
а). 
.
б). 
.
в). 
.
Ответ: а). 3. б). 3. в). 3.
2. Найти какую-нибудь базу системы векторов и через неё выразить остальные векторы системы:
а). 
.
б). 
.
Ответ: а). 
. б). 
.
3. Векторы 
составляют базис пространства. Каковы в этом базисе координаты векторов:
а). 
. б). 
. в). 
. г). 
. д). 
?
Ответ: а). 
. б). 
. в). 
. г). 
. д). 
.
4. Векторы составляют базис пространства. Можно ли подобрать такие числа 
, при которых 
?
Указание. Составить и решить систему уравнений: 
.
Ответ: да, можно: 
.
6-е занятие. Векторы. Скалярное произведение.
Повторить: определение и свойства скалярного произведения векторов, определение коллинеарных векторов, угла между двумя векторами, вычисление проекции одного вектора на другой.
Опр. Модулем вектора 
называется его длина: 
.
Опр. Скалярным произведением векторов и 
называется произведение их модулей на косинус угла между ними: 
.
Угол между векторами и : 
; 
.
Скалярное произведение в координатах: 
, где , 
.
Опр. Коллинеарными называются векторы, которые лежат на одной прямой или на параллельных прямых.
У коллинеарных векторов соответствующие координаты пропорциональны.
Обозначим 
- проекция вектора на вектор , тогда 
, откуда соответствующие
проекции вектора на вектор: 
; 
.
Задания для решения.
1. Найти скалярный квадрат вектора: а). 
. б). 
. в). 
.
Указание. Скалярный квадрат вектора 
. Ответ: а). 49. б). 36. в). 9.
2. Даны векторы 
и 
. При каком значении параметра 
? Ответ: 
.
3. Вычислить угол между прямыми 
и 
, если 
, 
, 
, 
.
Указание. Вычислить косинус угла между векторами 
и 
. Ответ: 
.
4. Коллинеарны ли векторы 
и 
, где 
, 
? Ответ: да.
5. Даны точки 
, 
, 
, 
. Определить векторы 
, 
и найти . Ответ: -6.
6. Даны точки 
, 
, 
. Найти косинус угла между векторами и 
. Ответ: -1.
7. Дан 
с вершинами 
, 
, 
. Найти 
и сделать проверку.
8. Найти скалярное произведение векторов 
и 
, если 
, 
и угол между и равен 
.
7-е занятие. Векторы. Векторное и смешанное произведение.
Повторить: определение и свойства векторного и смешанного произведения векторов.
Опр. 
, если:
1). 
, где 
- угол между и ;
2). 
и 
;
3). Векторы 
образуют правую тройку.
Применение: площадь параллелограмма, построенного на векторах и , вычисляется по формуле: 
, площадь треугольника 
.
Векторное произведение в координатах: 
, где 
.
Опр. 
.
Применение: объём параллелепипеда, построенного на векторах , и 
: 
; объём треугольной призмы: 
; объём треугольной пирамиды: 
; условие компланарности: 
.
Задания для решения.
1. Даны векторы 
и 
. Найти координаты векторных произведений: а). 
; б). 
. Ответ: а). 
. б). 
.
2. Сила 
приложена к точке 
. Найти её момент относительно начала координат. Указание. 
.
3. Даны три силы 
, 
, 
, приложенные к точке 
. Определить момент их равнодействующей относительно точки 
.
Указание. 
, 
. Ответ: 
.
4. Вычислить объём треугольной призмы, построенной на векторах
, 
, 
. Ответ: 25.
5. Вычислить объём параллелепипеда, построенного на векторах 
, 
, 
, и исследовать, какую тройку образуют эти векторы.
Ответ: 81, правую.
6. Построить пирамиду с вершинами 
, 
, 
и 
и вычислить её объём, площадь грани 
и высоты пирамиды, опущенную на эту грань.
Указание. 
, где 
. Ответ: 14, 
.
7. Построить пирамиду с вершинами 
, 
, 
и 
, вычислить её объём и высоту, опущенную на грань .
Ответ: 14, 
.
8. Вычислить диагонали и площадь параллелограмма, построенного на векторах 
и 
.
Решение. 
, 
, 
, 
, 
, 
.
Второй способ: 
; 
.
Ответ: 
.
8-е занятие. Контрольная работа № 2 по теме «Векторная алгебра».
Примерный вариант контрольной работы.
1. Написать разложение вектора 
по векторам 
, 
, 
.
2. Вычислить объём треугольной пирамиды с вершинами 
, 
, 
и 
, а также её высоту, опущенную на грань .
3. Исследовать и решить однородную систему уравнений: 
Дополнительные задания по теме «Линейная и векторная алгебра».
1. Вычислить определители:
а). 
. б). 
. в). 
. г). 
.
Ответ: а). 
. б). 1. в). 
. г). 144.
2. Найти площадь треугольника с вершинами 
.
Ответ: 10.
3. Решить системы уравнений:
а). 
б). 
в). 
Ответ: а). 
. б). 
. в). Несовместна.
4. Определить угол между векторами 
и 
.
Ответ: 
.
5. Даны векторы 
и 
. Определить 
и .
Ответ: 
; 
.
6. Даны три последовательные вершины параллелограмма 
, 
и 
. Найти его четвертую вершину 
и угол между векторами и 
. Ответ: 
, 
.
7. Определить и построить вектор , если:
а). 
, 
. б). 
, 
. в). 
, 
. Найти в каждом случае площадь параллелограмма, построенного на векторах и .
Ответ: а). 
; 
. б). 
; 
. в). 
; 
.
8. Вычислить площадь параллелограмма и его высоту, построенного на векторах 
и 
. Ответ: 
; 
.
9. Даны вершины треугольника: 
, 
, 
. Вычислить его площадь и высоту 
. Ответ: 
; 
.
10. Найти смешанное произведение векторов 
, , 
.
11. Показать, что точки 
, 
, 
и 
лежат в одной плоскости.
12. Показать, что векторы 
, 
, 
компланарны.
13. Вычислить объём треугольной пирамиды с вершинами 
, 
, 
и 
, а также длину высоты пирамиды, опущенной на грань . Ответ: 
; 
.
Библиография
1. П. Е. Данко, А. Г. Попов, Т. Я. Кожевникова. Высшая математика в упражнениях и задачах. 1 том.
2. Н. С. Пискунов. Дифференциальное и интегральное исчисления. 1 том.
3. Д. Письменный. Конспект лекций по высшей математике.
4. В. С. Шипачёв. Высшая математика.
5. В.П. Минорский Сборник задач по высшей математике.
6. А.А. Шубович, Ю.В. Клочков. Конспект лекций по теме: «Линейная алгебра».
7. А.А. Шубович. Конспект лекций по теме: «Векторная алгебра».
В авторской редакции.
Компьютерная вёрстка Шубовича А.А.
Подписано в печать Формат 
Усл. печ. л. 0,93. Тираж 100. Заказ
Издательско-полиграфический комплекс ВГСХА «Нива»
400002, Волгоград, Университетский пр-т, 26