Приведём эпюры внутренних моментов, вызванных единичными силовыми факторами и внешней нагрузкой, эквивалентной системы для симметричной задачи (см. Приложение А, рис.5а-е).
Обозначим через
Следует отметить, что эпюры моментов, вызванных силами совпадают с соответствующими эпюрами от сил
в симметричной задаче; моментов, вызванных силами
и
с эпюрами сил
; а эпюры от сил
отличаются от соответствующих им эпюр симметричной задачи -
и только знаком. Поэтому их здесь приводить не будем.
Матрица коэффициентов :
Вектор-столбец перемещений ![]() | ![]() |
Решая систему уравнений (1) при заданных в пункте 4 задания параметрах, получаем искомые силовые факторы :
Таким образом, раскрыта статическая неопределимость кососимметричной системы.
Суммарная эпюра моментов
Приведем суммарные эпюры изгибающих и крутящих моментов от заданных внешних нагрузок и найденных силовых факторов (см. Приложение А, рис. 6а,б).
Отметим, что в стержнях, закрепленных ПШО, в точке закрепления не возникает никаких моментов, так как в ней запрещены перемещения по всем направлениям, но не повороты. Как и следовало ожидать, максимальный по модулю момент возникает в ОЖЗ, то есть в заделке.
Возникновение пластических деформаций
Эквивалентным напряжением называют такое напряжение, которое следует создать в растянутом образце, чтобы его состояние было равноопасно с заданным напряженным состоянием. Рассмотрим напряженное состояние, при котором возникают пластические деформации, тогда
(4)
В соответствии с теорией Мора для эквивалентного напряжения можно записать:
(5)
где -главные напряжения,
,
-предел текучести на растяжение,
- предел текучести на сжатие. Для данной задачи
=
,
.
Рассмотрим наиболее опасное сечение стержневой системы. Наиболее напряженными будут периферийные точки сечения, т.е. точки, находящиеся на расстоянии от центра сечения. Выделим в окрестности периферийной точки элемент материала и рассмотрим напряжения, действующие по его граням. Нормальное напряжение
будет определяться изгибающим моментом, а касательное
- крутящим:
(6)
где - результирующий изгибающий момент,
- изгибающие моменты в двух перпендикулярных плоскостях,
-момент сопротивления при изгибе,
- крутящий момент,
- полярный момент сопротивления.
Выражение (5) для рассматриваемой точки примет вид:
. (7)
Подставив выражения (6) в формулу (7), получим
(8)
В нашем случае
(9)
и достигается в заделке правой половины рамы.
Подставив (9) в (8) при известных ,
,
, найдем значение
, при котором возникают пластические деформации:
Определение перемещений
Для определения перемещений точки А воспользуемся интегралом Мора (2), для чего приложим в этой точке единичные силу и момент в интересующих нас направлениях. Эпюры внутренних моментов от этих единичных факторов изображены на рис. 5е и рис. 4з (см. Приложение А).
Так как точка А находится в плоскости симметрии, то перемещение в вертикальной плоскости происходит только под действием симметричной нагрузки, а поворот в вертикальной плоскости – кососимметричной.
Проведем расчеты при
Получим:
Знаки минус указывают на то, что перемещения направлены противоположно соответствующим единичным силовым факторам.
Список литературы
1. В. И. Феодосьев Сопротивление материалов – 3-е изд. - М.: Наука, 1964 – 540 с.
2. Н. Н. Малинин Прикладная теория пластичности и ползучести. Учебник для студентов. Изд. 2-е, перераб. и доп. – М.: Машиностроение, 1975 – 400с с ил.