Но что такое "математические объекты", или "математические вещи", как их называет Аристотель? Чем они отличаются от чисел, которые Платон считает идеальными образованиями? Почему Платон, по словам Аристотеля, помещает эти самые "математические объекты" в промежутке - между миром идеального и чувственным миром, т.е. между числами и вещами?
Обратимся за разъяснением вопроса о природе чисел и "математических объектов" к самому Платону. Поясняя, что такое число, Сократ говорит своему собеседнику: ""Как ты думаешь, Главкон, если спросить их (математиков. - П.Г.): достойнейшие люди, о каких числах вы рассуждаете? Не о тех ли, в которых единица действительно такова, какой вы ее считаете, - то есть всякая единица равна всякой единице, ничуть от нее не отличается и не имеет в себе никаких частей?" - как ты думаешь, что они ответят?
- Да, по-моему, что они говорят о таких числах, которые допустимо лишь мыслить, а иначе с ними никак нельзя обращаться" (курсив мой. - П.Г.).
Итак, число - это идеальное образование, его нельзя воспринять чувственно, а можно только мыслить. В чувственном мире невозможно найти "единицу, которая ничем не отличалась бы от другой" - любой предмет чувственного мира, любая чувственная "единица" отличается от другого предмета, от другой "единицы", тождественны они лишь с точки зрения того, что каждый из предметов мыслится как "один", а "один" равен "одному" только в мире идеализаций. Как образования идеальные и постижимые только мыслью, числа не отличаются от идей ("суть идеи", как говорит Аристотель).
Важным моментом в платоновском обосновании числа как чисто мыслительного образования является положение о принципиальной неделимости единицы - неделимости логической, поскольку сама единица теперь мыслится как логическое начало. Согласно Платону, наука о числах "влечет душу ввысь и заставляет рассуждать о числах самих по себе, ни в коем случае не допуская, чтобы кто-нибудь подменял их имеющими число видимыми и осязаемыми телами. Ты ведь знаешь, что те, кто силен в этой науке, осмеют и отвергнут попытку мысленно разделить самое единицу, но если ты все-таки ее раздробишь, они снова умножат части, боясь, как бы единица оказалась не единицей, а многими долями одного".
|
|
Единица неделима, ибо она есть единое, а единое неделимо по определению. Единица, согласно концепции Платона, рождает множество, но и само множество имеет своим логическим условием единицу: ведь если нет единого, то нет и многого, поскольку многое - это множество единиц. Единицу нельзя разделить на том самом основании, которое Платон с предельной четкостью сформулировал в заключительных словах к диалогу "Парменид": "Если единое не существует, то ничего не существует".
Что же, однако, такое "математические вещи", или "математические объекты", о которых говорит Аристотель, и чем они отличаются у Платона от чисел? Вот что говорит об этом Платон: "Когда они (геометры. - П.Г.) пользуются чертежами и делают отсюда выводы, их мысль обращена не на чертеж, а на те фигуры, подобием которых он служит. Выводы свои они делают только для четырехугольника самого по себе и его диагонали, а не для той диагонали, которую они начертили. То же самое относится к произведениям ваяния и живописи, от них может падать тень и возможны их отражения в воде, но сами они служат лишь образным выражением того, что можно видеть лишь мысленным взором" (курсив мой. - П.Г.).
|
|
Рассматривая эти соображения Платона в своей истории античной математики, Б.Л. ван дер Варден полагает, что античные математики должны были быть согласны здесь с Платоном. "И действительно, - пишет Варден, - для прямолинейных отрезков, которые можно видеть и эмпирически измерять, является бессмысленным вопрос, имеют ли они общую меру или нет: ширина волоса уложится целое число раз в любом начерченном отрезке. Вопрос о соизмеримости имеет смысл только для отрезков, создаваемых мыслью".
Платон, таким образом, различает геометрические фигуры, как они представлены на чертеже, и "фигуры сами по себе", т.е. такие, которые "можно видеть лишь мысленным взором". Видимо, последние как раз и есть те "математические вещи", которые, по свидетельству Аристотеля, Платон отличает от чисел и которые он считает промежуточными, помещая их между миром идеального и чувственным миром.
"Математические объекты", стало быть, - это те образования, которыми оперирует не арифметика, имеющая дело с числами, а геометрия, это фигуры: окружности, треугольники, четырехугольники - и их элементы: радиусы, углы, диагонали, биссектрисы и т.д., т.е. линии и плоскости, по-разному сконструированные. К математическим Платон относит и "объекты" стереометрии: шар, куб, тетраэдр, икосаэдр и др. Все это, согласно Платону, объекты мысли, но они в то же время могут иметь чувственные подобия, чувственные аналоги: в качестве таких подобий могут выступать не только начерченные на песке или на восковой дощечке круги, треугольники и т.д., но и вырезанные из дерева или из камня шары, кубы, пирамиды. Видимо, в этом смысле Аристотель и говорит, что Платон считает числами и вещи, и причины вещей, но причинами он считает числа умопостигаемые, а те, что воплощаются в вещах, считает производными от первых. Точно так же и с геометрическими объектами: те вещи, которые имеют форму шара или куба, Платон считает чувственными подобиями идеального шара или куба, так же как чувственными подобиями геометрических фигур являются их чертежи.
|
|
Понятие пространства у Платона и онтологический статус геометрических объектов
Но почему же числа и геометрические объекты оказываются у Платона имеющими разный статус: числа - чисто идеальные сущности, а линии, углы, фигуры - сущности "промежуточные"? В соответствии с этим различением арифметика выступает у Платона и Аристотеля как первая в ряду математических наук и наиболее среди них "простая", а тем самым и более достоверная, чем геометрия. В чем коренится такое различие между арифметикой как наукой о числах и геометрией как наукой о "фигурах"? Оно коренится в том, что числа и числовые отношения геометрия представляет в виде определенных пространственных образов, схем, т.е. фигур.
Пифагорейцы по той причине, видимо, не различали числа и вещи, что они считали единицу, имеющую определенное положение в пространстве (т.е. точку), вещью; поскольку эмпирический мир вещей - это мир пространственный, то единица, становясь точкой, тем самым выступает как элемент пространственного, а значит, эмпирического мира.
Показывая, что геометрические конструкции по своему статусу отличаются от вещей чувственного мира, Платон в то же время не может отождествить их с собственно идеальными объектами, каковы числа. Пытаясь найти онтологический статус геометрических объектов, он приходит к мысли о том, что пространство - стихия геометрии - есть нечто среднее между идеями и чувственным миром.
Насколько нам известно, Платон впервые в античной науке вводит понятие геометрического пространства; до него античная философия не отделяла сознательно пространство от его наполнения, за исключением разве атомистов, но они определяли пространство физически - как пустоту, отличая ее от атомов как "полного". И не только доплатоновская, но и послеплатоновская научно-философская мысль в лице Аристотеля и его учеников не признавала пространства в том виде, как его понимал Платон; пространство выступает у Аристотеля как "место", а это понятие радикально отличается от геометрического пространства Платона.
Поскольку понятие пространства, впервые формирующееся у Платона, имеет очень большое значение для эволюции науки и ее исходных принципов, поскольку оно, далее, тесно связано с платоновским обоснованием математики, мы рассмотрим его здесь подробнее. В диалоге "Тимей" Платон следующим образом определяет пространство: "...приходится признать, во-первых, что есть тождественная идея, не рожденная и не гибнущая, ничего не воспринимающая в себя откуда бы то ни было и сама ни во что не входящая, незримая и никак иначе не ощущаемая, но отданная на попечение мысли. Во-вторых, есть нечто подобное этой идее и носящее то же имя - ощутимое, рожденное, вечно движущееся, возникающее посредством мнения, соединенного с ощущением. В-третьих, есть еще один род, а именно пространство (є cиra): оно вечно, не приемлет разрушения, дарует обитель всему рождающемуся, но само воспринимается вне ощущения, посредством некоего незаконного умозаключения, и поверить в него почти невозможно".
Пространство, как видим, определяется Платоном как нечто отличное, с одной стороны, от идей, постигаемых мыслью (n"hsiV), которые мы назвали бы по этой причине логическим объектом (для Платона логическое имеет статус единственно истинного бытия), а с другой - от чувственных вещей, воспринимаемых "ощущением" (aЗsJhsiV). Пространство лежит как бы между этими мирами в том смысле, что оно имеет признаки как первого, так и второго, а именно: подобно идеям, пространство вечно, неразрушимо, неизменно - более того, оно и воспринимается не через ощущение. Но сходство его с чувственным миром в том, что воспринимается оно все же не с помощью мышления. Та способность, с помощью которой мы воспринимаем пространство, квалифицируется Платоном весьма неопределенно - как "незаконное умозрение" (°pt'n logismщ tinИ n"JJ). Переводя это выражение Платона как "гибридное рассуждение", Дюгем тем самым хочет подчеркнуть, что способность, которой мы постигаем пространство, есть некий гибрид, "помесь" между мышлением и ощущением.
Интересно, что Платон сравнивает видение пространства с видением во сне: "Мы видим его (пространство. - П.Г.) как бы в грезах и утверждаем, будто это бытие непременно должно быть где-то, в каком-то месте и занимать какое-то пространство, а то, что не находится ни на земле, ни на небесах, будто бы и не существует".
Сравнение "незаконнорожденного" постижения пространства с видением во сне, очевидно, весьма для Платона важно, потому что он употребляет это сравнение не однажды. В диалоге "Государство", говоря о геометрии и ее объектах, Платон вновь пользуется этим сравнением: "Что касается остальных наук, которые, как мы говорили, пытаются постичь хоть что-нибудь из бытия (речь идет о геометрии и тех науках, которые следуют за ней. - П.Г.), то им всего лишь снится бытие, а наяву им невозможно его увидеть, пока они, пользуясь своими предположениями, будут сохранять их незыблемыми и не отдавать в них отчета. У кого началом служит то, чего он не знает, а заключение и середина состоят из того, что нельзя сплести воедино, может ли подобного рода несогласованность когда-либо стать знанием?"
Пространство мы видим как бы во сне, мы его как бы и видим и в то же время не можем постигнуть в понятиях, - и вот оно-то, по мнению Платона, служит началом для геометров.
Почему, говоря о пространстве, Платон постоянно прибегает к образу сна? Невольно приходит на ум известный платоновский символ пещеры: ведь узники в пещере принимают за истину "тени проносимых мимо предметов", так же точно как человек во сне принимает за реальность лишь "тени". Пространство в этом смысле у Платона - это не тени, т.е. не чувственные вещи, а как бы сама стихия сна, пространство - это сам сон как то состояние, в котором мы за вещи принимаем лишь тени вещей. И так же, как, проснувшись, мы воспринимаем виденное во сне несколько смутно, не можем дать себе в нем отчет, оно как бы брезжит, не позволяет себя схватить и остановить, определить, - так же не дает себя постигнуть с помощью понятий разума и пространство.
Итак, Платон рассматривает пространство как предпосылку существования геометрических объектов, как то "начало", которого сами геометры "не знают" и потому должны постулировать его свойства в качестве недоказуемых первых положений своей науки.
Платон и "Начала" Евклида
В первой книге "Начал" Евклид формулирует исходные положения геометрии, которые не могут быть доказаны, но на базе которых только и могут быть получены остальные - выводные - положения. Эти недоказуемые утверждения Евклид подразделяет на три группы: определения ("roi), постулаты (aДtїmata) и общие понятия - аксиомы. У самого Евклида эта третья группа положений носит название koinaИ Ьnnoiai - "общие представления", "понятия"; на латинский язык это выражение обычно переводили как "communes animi conceptiones" - "общие понятия души". У Прокла в комментарии к Евклиду первая группа положений называется также гипотезами (џp"JesiV), а третья группа положений носит название аксиомы (ўxiиmata).
На каком основании Евклид вводит эти три подразделения? Чем отличаются определения от постулатов и аксиом?
Рассмотрим сначала, что такое определения, или допущения (гипотезы), как их именует платоник Прокл. В первой книге Евклида их 23. Они в свою очередь могут быть подразделены на две группы. В первой группе (определения 1-9, 13, 14) вводятся исходные понятия геометрии - точка, линия, прямая линия, поверхность, плоскость, угол, граница, фигура. Ко второй группе принадлежат определения основных геометрических фигур - прямого, тупого и острого углов, круга, разного вида треугольников и четырехугольников, параллельных прямых.
Что касается определений первой группы, то, как отмечает М.Я. Выгодский, "с древнейших времен и до наших дней эти определения в наибольшей степени были предметом критики". Приведем главнейшие из определений этой первой группы.
1. Точка есть то, что не имеет частей.
2. Линия же - длина без ширины.
3. Концы же линии - точки.
4. Прямая линия есть та, которая равно расположена относительно точки на ней.
5. Поверхность есть то, что имеет только длину и ширину.
6. Концы же поверхности - линии.
Очевидно, именно такого рода определения имеет в виду Платон в следующем своем рассуждении: "Я думаю, ты знаешь, что те, кто занимается геометрией, счетом и тому подобным, предполагают в любом своем исследовании, будто им известно, что такое чет и нечет, фигуры, три вида углов и прочее в том же роде. Это они принимают за исходные положения и не считают нужным отдавать в них отчет ни себе, ни другим, словно это всякому и без того ясно".
Таким образом, термин "roi, или ЎpoJЪseiV, переводимый на русский язык как "определения", означает скорее "гипотезы", т.е. предположения, допущения, которые далее не доказываются. Как поясняет Аристотель, определения "ничего не говорят о том, существует ли данный предмет или нет", и это, надо полагать, их специфическое отличие от постулатов. Точно так же ничего не говорят о существовании определяемого предмета и аксиомы, т.е. "общие понятия".
1. Равные одному и тому же равны между собой.
2. И если к равным прибавляют равные, то и целые будут равны.
3. И если от равных отнимаются равные, то остатки будут равны.
4. И если к неравным прибавляются равные, то целые будут не равны.
5. И удвоенные одного и того же равны между собой.
6. И половины одного и того же равны между собой.
7. И совмещающиеся друг с другом равны между собой.
8. И целое больше части.
9. И две прямые не содержат пространства.
Как нетрудно видеть, все аксиомы, кроме 7-й и 9-й, одинаково могут быть отнесены как к геометрии, так и арифметике; что же касается 7-й и 9-й, то Л. Хис считает их позднейшей вставкой, и его мнение разделяет М.Я. Выгодский.
Аксиомы, как и определения, ничего не говорят о существовании определяемого ими объекта. Отличие определений от аксиом легко заметить: определения имеют более специальный характер, они вводят именно геометрические объекты, аксиомы же (по крайней мере 1Ч6-є и 8-я) могут иметь значение и для геометрии, и для арифметики, т.е. носят более общий характер. Это различие подтверждается и тем, что Евклид формулирует специальные определения в начале каждой из книг своего сочинения; что же касается аксиом, то они предпосылаются сразу ко всем книгам.
По этому принципу отличал определения от аксиом и Аристотель. В "Аналитике второй" читаем: "Из тех начал, которые применяются в доказывающих науках, одни свойственны каждой науке в отдельности, другие - общи всем... Свойственным <лишь одной науке> является, например, то, что линия - такая-то и прямое - такое-то. Общее же, например, то, что если от равного отнять равные <части>, то остаются равные же <части>. Каждым из таких <общих положений> можно пользоваться, поскольку оно относится к роду, подчиненному данной науке, ибо оно будет иметь одинаковую силу, если и не брать его для всего <подходящего>, но <в геометрии> - в отношении величин, а в арифметике - в отношении чисел". И действительно, аксиомы у Евклида формулируются в самом начале; что же касается определений, то они свои в начале каждой книги.
Иной характер, чем определения и аксиомы, носят постулаты. Греческий термин aДtїmata означает "требования". Постулаты, как и аксиомы, имеют общее значение: они перечислены в начале I книги и имеют силу для всех книг Евклида, где речь идет о геометрических объектах. Относительно количества постулатов очень много спорили уже в эпоху эллинизма и вплоть до нашего времени. По этому вопросу существует специальная весьма обширная литература, но мы рассмотрим его лишь с интересующей нас стороны.
Обратимся к переводу постулатов, сделанному М.Я. Выгодским со списка, который принят И. Гейбергом. Этот список, как говорит Выгодский, "соответствует большинству лучших рукописей и, что не менее важно, совпадает со списком, приводимым в комментариях Прокла. Поэтому можно думать, что нижеприводимые постулаты... содержались в оригинале "Начал". Вот их список.
Требования
1. Требуется, чтобы можно было через всякие две точки провести прямую.
2. И ограниченную прямую непрерывно продолжать по прямой.
3. И из всякого центра всяким расстоянием описать круг.
4. И что все прямые углы равны.
5. И если прямая линия, падающая на две прямые, делает меньшими двух прямых углы по одну сторону, чтобы эти две прямые, будучи продолжены, совпали с той стороны, с которой углы меньше двух прямых".
Анализ евклидовых "Начал" неоплатоником Проклом
Неоплатоник Прокл (V в.) в своем комментарии к "Началам" Евклида говорит, что 4-й и 5-й постулаты - это, в сущности, не постулаты. "...ѕоложение, что все прямые углы равны, не есть требование, точно так же как и пятое положение, которое утверждает: если прямая пересекается с двумя другими прямыми и образует внутренние углы по одну сторону меньшие, чем два прямых, то эти две прямые, будучи продолжены, совпадут с той стороны, где лежат углы, меньше двух прямых". Как аргументирует Прокл свое утверждение? "Это положение, - говорит он, имея в виду 5-й постулат, - не применяется в качестве конструкции и не ставит требование что-то найти, а оно объясняет некоторое свойство, которое является общим для прямых углов и прямых, исходящих из углов, меньших двух прямых. Согласно второму определению, положение, что две прямые не объемлют поверхности (см. аксиому 9: "Две прямые не содержат пространства"), - положение, которое также теперь некоторые причисляют к аксиомам, не есть аксиома. Ибо оно принадлежит к геометрической материи, как и положение о равенстве двух прямых углов".
Это рассуждение Прокла в сущности уже содержит различение аксиом и постулатов - различение, которое нас как раз и интересует. Из слов Прокла можно понять, что к постулатам он причисляет лишь те положения, которые ставят требования что-то найти или сконструировать; по этой причине отнесенные к числу постулатов положения о равенстве всех прямых углов (4) и о пересечении двух непараллельных прямых при их продолжении (5) он постулатами не считает. В то же времє Прокл не согласен считать аксиомой положение 9, относимое, как он говорит, "некоторыми" к аксиомам: ведь оно трактует о поверхности (пространстве) и тем самым "принадлежит к геометрической материи". Заметим характерное выражение: геометрическая материя.
Аксиомы, согласно Проклу, так же отличаются от постулатов, как теоремы - от проблем: "Выведение из принципов опять-таки распадается на задачи (проблемы) и положения (теоремы). Первые обнимают собою построение фигур, разделение, вычитание и прибавление и вообще все, что с ними можно делать (vornehmen); последние указывают существенные свойства... Если кто-то формулирует задачу так: вписать в круг равносторонний треугольник, то он говорит о проблеме; ибо возможно вписать в круг также и неравносторонний треугольник. И опять-таки: на данном, точно определенном, отрезке построить равносторонний треугольник - это тоже проблема, ибо можно построить также и неравносторонний. Но если кто-то формулирует положение, что в равнобедренных треугольниках углы при основании равны, то можно сказать, что он формулирует теорему, ибо невозможно, чтобы в каком-нибудь равнобедренном треугольнике углы при основании не были равны".
Таким образом, теорема - это теоретическое утверждение, в котором определенному объекту приписывается свойство, которое ему присуще с необходимостью.
Проблема же - это скорее практическая задача, которая выполняется определенным способом, и нужно найти эти способы, изобрести их и выполнить требуемое построение. Характерной особенностью задачи (проблемы) является то, что требуемое построение - отнюдь не единственно возможное: при заданных условиях можно осуществить и другое построение.
Теорема представляет собой утверждение, противоположное которому будет неистинным; к проблеме же определение "истинно - неистинно" не может быть применено.
Указав на различие между теоремами и проблемами, Прокл переходит к рассмотрению аксиом и постулатов. "Общим для аксиом и постулатов, - пишет он, - является то, что они не нуждаются ни в каком обосновании и ни в каком геометрическом доказательстве, но что они принимаются как известные и являются началами для последующего. Но аксиомы отличаются от постулатов так же, как теоремы от проблем. А именно, подобно тому как в случае теорем мы ставили задачу усмотреть и понять следствие из предпосылок, а в случае проблем получаем требование что-то найти и сделать, точно так же и в случае аксиом принимается то, что сразу видно и не представляет никаких затруднений для нашего необученного (ungeschulten) мышления. Но в случае постулатов мы пытаемся найти то, что легко получить и установить и относительно чего рассудок не затрудняется, не нуждается ни в каком сложном методе и ни в какой конструкции".
Если мы оставим в стороне весьма сложный и на протяжении многих веков дискутировавшийся среди математиков и философов вопрос о двух последних постулатах (4 и 5-й) и некоторых аксиомах (7 и 9-є), то с различением, которое здесь приводит Прокл, трудно не согласиться.
Из дальнейшего сообщения Прокла мы узнаем, что еще до Евклида греческие математики и философы обсуждали значение недоказуемых предпосылок в геометрии. Ученик Платона Спевсипп не соглашался с математиком Менехмом, учеником Евдокса; их спор был продолжением полемики самого Платона с Архитом, Евдоксом и другими математиками относительно применимости в геометрии принципа построения. Во всяком случае, Г.Г. Цейтен считает, что спор между Менехмом и Спевсиппом подобен тому, который начался еще раньше между Евдоксом и Платоном, и что этот спор касается доказательства существования геометрических объектов. "...Платоники, - пишет Цейтен, - утверждали, что равносторонний треугольник существует до построения его, Менехм же, очевидно, должен был доказывать, что в его реальном существовании мы убеждаемся, лишь построив его и доказав при этом, что это построение приводит действительно к преследуемой им цели. Но так именно поступает Евклид: он не довольствуется определением равносторонних треугольников; прежде чем начать пользоваться ими, он убеждается в их существовании, решив в первой теореме своей первой книги задачу о построении этих треугольников; затем он доказывает правильность этого построения".
Цейтен считает, что этот спор имеет принципиальное значение с точки зрения платоника Спевсиппа, существование геометрических объектов (того же равностороннего треугольника) не может быть доказано с помощью построения, ибо геометрические объекты тождественны идеям и существуют от века, а Менехм и вслед за ним Евклид не согласны со Спевсиппом. Что касается названных математиков, то их позицию Цейтен характеризует следующим образом: "Основное значение геометрического построения заключается в доказательстве реального существования того самого объекта, к нахождению которого приводит это построение". К этой позиции присоединяется и сам Цейтен, считая, что постулаты Евклида представляют собой доказательства существования геометрических объектов: первый постулат - доказательство существования отрезка прямой, второй - неограниченно продолженной прямой, третий - круга.
И действительно, у Прокла по этому поводу читаем: Спевсипп и Амфином "придерживались того взгляда, что наукам о духовном (Geisteswissenschaften) приличествует скорее название теорем, чем проблем, поскольку они занимаются непреходящим предметом. Ибо в сфере непреходящего не существует становления, так что в ней нет места для проблемы, которая предполагает становление и создание чего-то такого, чего до этого не было, как, например, построение равностороннего треугольника или построение квадрата с данной стороной... Согласно им, следовательно, правильнее сказать, что все есть одно и то же и что мы рассматриваем его становление не деятельным, а познающим способом, тем, что берем вечно сущее как нечто становящееся, поэтому мы скажем, что все следует брать в смысле теорем, а не проблем. Другие же, как, например, школа математики Менехма, хотят характеризовать весь комплекс как проблемы. Но задача при этом является двойственной: она означает то изобретение чего-то искомого, то исследование определенного объекта с целью узнать, что он такое, или каким свойством обладает, или в каком отношении он находится к другому объекту".
В приведенном отрывке мы находим положения, проливающие дополнительный свет на позицию Спевсиппа: когда мы обращаемся к геометрическому объекту, например равностороннему треугольнику, то мы не просто познаем вечно-сущую идею, а "берем вечно-сущее как нечто становящееся". Главное расхождение Спевсиппа с Менехмом касается, стало быть, не вопроса о том, что такое треугольник: вечно-сущая идея или конструкция, порождаемая нами самими, а вопроса о том, как понимать это рассмотрение становления - как деятельность (т.е. как построение) или как познание.
На этот момент, во-видимому, Цейтен не обратил достаточного внимания. Нам кажется, что произошло это вот по какой причине. Всем известно, что Платон критиковал современных ему математиков за то, что те пользовались определенными механическими орудиями для решения математических задач, в том числе и для построения фигур. Ясно также, какие орудия нужны для выполнения первых трех постулатов Евклида: линейка и циркуль. Естественно поэтому, что приведенные Проклом соображения Спевсиппа против построения как доказательства существования геометрических объектов были восприняты как прямое продолжение возражений Платона, направленных против "использования вспомогательных инструментов". Отсюда возникла и мысль, что Платон и Спевсипп считали геометрические объекты существующими реально от века, подобно вечным и неизменным идеям.
В то же время вывод этот не вытекает непосредственно из наличных свидетельств древних авторов. Более того, утверждение Спевсиппа, что геометрические объекты представляют собой "вечно сущее в становлении", указывает на то, что эти объекты имеют несколько иной онтологический статус, чем идеи. Но, прежде чем внести ясность в этот вопрос, посмотрим, за что Платон критиковал современных ему математиков.
Прикладная и чистая математика. Платон о неприменимости механики в геометрии
Благодаря своей функции посредника между сферами чувственного и идеального бытия математика может выполнять, согласно Платону, две разные задачи: во-первых, служить цели приобщения человека к более высокому - к созерцанию идеи блага - и, во-вторых, быть средством упорядочения и расчленения низшей сферы - текучего и неуловимого становления. Первая ее функция оценивается Платоном неизмеримо выше второй: "При устройстве лагерей, занятии местностей, стягивании и развертывании войск и разных других военных построениях как во время сражения, так и в походах, конечно, скажется разница между знатоком геометрии и тем, кто ее не знает. - Но для этого было бы достаточно какой-то незначительной части геометрии и счета. Надо, однако, рассмотреть преобладающую ее часть, имеющую более широкое применение: направлена ли она к нашей цели, помогает ли она нам созерцать идею блага?"
Всякое применение математики к познанию эмпирических явлений оценивается Платоном как ее прикладная функция, и хотя он против этого применения не возражает, но опасается, как бы из-за него не затемнилось и не исказилось понимание самой природы и сущности как математики, так и всей науки вообще. А это "затемнение и искажение", согласно Платону, сказывается в том, что из-за возможности применять математические знания на практике в саму математику вносятся механические методы.