См. свойства АП, опр., что писали ранее.
Свойства движения:
При движении плоскости произвольный треугольник переходит в треугольник равный первоначальному.
Доказательство: признак равности треугольника по трем сторонам.
При движении углы между векторами сохраняются.
Доказательство: по . Приложим к общему началу, соединим концы, получим треугольник, по свойству 1 углы равны (
).
При движении площади треугольников сохраняются.
При движении любая плоско замкнутая фигура переходит в фигуру равную первоначальной.
Виды движения:
Аналитическое выражение движения (формулы движения).
Движение: собственное, несобственное.
DC - собственное движение (верхние знаки)
Найти двойную точку собственного движения.
– условие двойственности
Условие, что это решение есть и единственное по т. Крамера 
. Единственная точка с координатами x0 и y0.
(*) 
DC (V) 
тогда преобразование DC имеет единственную двойную точку.
(*)→ в (V) и получим:
Рассмотрим вектор > 
, где 
– двойная точка DC
(**) 
- формулы поворота вектора на угол φ
Найдем угол между векторами {α;β} и {α’;β’}
Мы доказали, что формулы
DC (VV)
описывают поворот плоскости вокруг точки М0
Т.о. можно считать, что начальное преобразование DC, это тоже формулы поворота плоскости вокруг т. М0 на угол φ
Частный случай формулы (V)
(V)
1) если a=0, b =0: поворот плоскости вокруг начала координат
DC0: 
2) 
перенос плоскости на вектор (a;b)
Т: 
Утверждение. Преобразование DC можно представить в виде композиции DC0 и Т, т.е. поворота плоскости вокруг начала координат на угол φ и переноса на вектор {α;β}.
С другой стороны преобразование DC при ненулевом угле φ равносильно повороту плоскости вокруг т.М0 (без переноса).
DН: (VVV) 
DН - несобственное движение.
Рассмотрим частный случай.
φ=0 a=b=0
Sx: 
симметрия относительно оси Ох
Утв. DН представимо в виде композиции
Изометрические преобразования (ИП).
Связь с движениями.
Определение. АП, при котором сохраняется скалярное произведение векторов, называются изометрическими преобразованиями.
Свойства изометрических преобразований
При ИП длины векторов сохраняются.
, 
Следствие. При ИП сохраняется расстояние между точками.
совпадают со свойствами движения, их доказательства так же совпадают.
Теорема. Любое ИП – это движение, любое движение – это ИП.
Теорема о связи ИП и Д.
Доказательство:
1) имеем ИП.
Докажем, что это движение.
– ПДСК 
в силу ИП
- ПДСК
При ИП ПДСК→в ПДСК =>оно движение по определению.
2) пусть имеем D – произвольное движение.
Докажем что это ИП
т.к. при движении расстояние между точками сохраняется.
в силу движения
=>Движение есть ИП по определению.
Гомотетия. Преобразование подобия.
Определение. Гомотетия с центром в т.М0 и коэффициентом k называют АП плоскости, при котором т.М 
М’, так что 
, где М0 – двойная точка.
Формулы гомотетии.
Пусть M0(x0;y0), M(x;y), M’(x’;y’)
=>Г: 
Г. с центром в начале координат O и k
Г0: 
Свойства гомотетии
При гомотетии с коэффициентами k расстояние между точками изменяется в k раз.
Доказательство:
| 
|
При гомотетии треугольник переходит в треугольники подобные первоначальным.
Доказательство: Признак подобия по трем сторонам.
При гомотетии углы между векторами сохраняются.
Доказательство: из свойства.
Δ→ в подобные Δ, а углы между сторонами сохраняются.
При гомотетии с коэффициентом k площади Δ изменяются в k2 раз.
Доказательство:
