Степень с дробным показателем мы определяли, распространяя на нее свойства степени с целым показателем. Иными словами, степени с дробными показателями обладают теми же свойствами, что и степени с целыми показателями. А именно:
1. свойство произведения степеней с одинаковыми основаниями при a>0, а если
и
, то при a≥0;
2. свойство частного степеней с одинаковыми основаниями при a>0;
3. свойство произведения в дробной степени при a>0 и b>0, а если
и
, то при a≥0 и (или) b≥0;
4. свойство частного в дробной степени при a>0 и b>0, а если
, то при a≥0 и b>0;
5. свойство степени в степени при a>0, а если
и
, то при a≥0;
6. свойство сравнения степеней с равными рациональными показателями: для любых положительных чисел a и b, a<b и рациональном p при p>0 справедливо неравенство ap<bp, а при p<0 – неравенство ap>bp;
7. свойство сравнения степеней с рациональными показателями и равными основаниями: для рациональных чисел p и q, p>q при 0<a<1 выполняется неравенство ap<aq, а при a>0 – неравенство ap>aq.
Доказательство свойств степеней с дробными показателями базируется на определении степени с дробным показателем, на свойствах арифметического корня n-ой степени и на свойствах степени с целым показателем. Приведем доказательства.
По определению степени с дробным показателем и
, тогда
. Свойства арифметического корня позволяют нам записать следующие равенства
. Дальше, используя свойство степени с целым показателем, получаем
, откуда по определению степени с дробным показателем имеем
, а показатель полученной степени можно преобразовать так:
. На этом доказательство завершено.
Абсолютно аналогично доказывается второе свойство степеней с дробными показателями:
По схожим принципам доказываются и остальные равенства:
Переходим к доказательству следующего свойства. Докажем, что для любых положительных a и b, a<b и рациональном p при p>0 справедливо неравенство ap<bp, а при p<0 – неравенство ap>bp. Запишем рациональное число p как m/n, где m – целое число, а n – натуральное. Условиям p<0 и p>0 в этом случае будут эквивалентны условия m<0 и m>0 соответственно. При m>0 и a<b по свойству степени с целым положительным показателем должно выполняться неравенство am<bm. Из этого неравенства по свойству корней имеем , а так как a и b – положительные числа, то на основе определения степени с дробным показателем полученное неравенство можно переписать как
, то есть, ap<bp.
Аналогично, при m<0 имеем am>bm, откуда , то есть,
и ap>bp.
Осталось доказать последнее из перечисленных свойств. Докажем, что для рациональных чисел p и q, p>q при 0<a<1 выполняется неравенство ap<aq, а при a>0 – неравенство ap>aq. Мы всегда можем привести к общему знаменателю рациональные числа p и q, пусть при этом мы получим обыкновенные дроби и
, где m1 и m2 – целые числа, а n - натуральное. При этом условию p>q будет соответствовать условие m1>m2, что следует из правила сравнения обыкновенных дробей с одинаковыми знаменателями. Тогда по свойству сравнения степеней с одинаковыми основаниями и натуральными показателями при 0<a<1 должно быть справедливо неравенство am1<am2, а при a>1 – неравенство am1>am2. Эти неравенства по свойствам корней можно переписать соответственно как
и
. А определение степени с рациональным показателем позволяет перейти к неравенствам
и
соответственно. Отсюда делаем окончательный вывод: при p>q и 0<a<1 выполняется неравенство ap<aq, а при a>0 – неравенство ap>aq.