Электрические цепи переменного трехфазного тока

Примеры решения задач

Электроизмерительные приборы и электрические измерения

Задача № 1

Вольтметр с пределом измерения 7,5 В и максимальным числом делений 150 имеет наибольшую абсолютную погрешность Зб мВ. Определить класс точности прибора и относительную погрешность в точках 40, 80, 90, 100 и 120 делений.

Решение

g = DU/U_мак × 100% = 0,5 %;

С = U_мак / N = 0,05 В/дел;

e = DU/U_изм × 100% = 1,8 %; 0,9 %; 0,8 %; 0,72 %; 0,6 %.

Задача № 2

Для расширения предела измерения амперметра с внутренним сопротивлением R_пр=0,5 Ом в 50 раз необходимо подключить шунт. Определить сопротивление шунта, ток полного отклонения прибора и максимальное значение тока на расширенном пределе, если падение напряжения на шунте U_ш = 75 мВ.

Решение

R_Ш = R_ПР / (n - 1);

n = I₂ / I₁ = 50;

R_Ш = 0,0102 Ом;

I₂ = U_ш / R_ш = 7,5 А;

I₁ = I₂ /n = 0,15 А.

 

Задача № 3

Магнитоэлектрический прибор с сопротивлением 10 Ом и током полного отклонения 7,5 мА может быть использован в качестве амперметра на 30 А. Определить сопротивление шунта.

Решение

R_Ш = R_ПР / (n - 1);

n = I₂ / I₁ = 4000;

R_Ш = 0,0025 Ом.

Задача № 4

Милливольтметр с пределом измерения 75 мВ и внутренним сопротивлением R_п=25 Ом имеет 150 делений шкалы. Определить сопротивление шунта, чтобы прибором можно было измерять предельное значение тока 30 А. Определить цену деления прибора в обоих случаях.

Решение

I₁ = U₁ / R_пр = 0,003 А;

n = I₂ / I₁ = 10000;

R_Ш = R_ПР / (n - 1) = 0,0025 Ом;

С₁ = U₁ / N = 0,5 мВ/дел;

С₂ = I₁ / N = 0,2 А/дел.

Задача № 5

Верхний предел измерений вольтметра 100 В, его внутреннее сопротивление 10 кОм, число делений шкалы 100. Определить цену деления шкалы вольтметра, если он включен с добавочным резистором 30 кОм.

Решение:

R_д = R_пр(n - 1);

n = 1 + R_д / R_пр = 4;

n = U^’ / U => U^’ = nU;

U^’ = 400 В;

С = 4 В/дел.

Задача № 6

Верхний предел измерения амперметра 1 А, его сопротивление R_A. Определить сопротивление шунта R_ш, чтобы при токе 5 А прибор показывал ток 1 А.

Решение:

R_Ш = R_ПР / (m - 1);

m = I^’ / I = 5;

R_Ш = R_A / 4.

 

ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЦЕПИ ПЕРЕМЕННОГО однофазного ТОКА

Задача № 7

Определите действующее значение тока

i = 341sin (ωt + π/2) (А)

Решение:

I = i_m / ≈ 242 В.

 

Задача № 8

Период переменного тока Т. В какой момент времени мгновенное значение тока достигает положительного максимума, если ток задан выражением i = i_msin (ωt + π/4)?

Решение:

=> ; =>

Задача № 9

Действующее значение тока в цепи равно 1 А. Полное сопротивление цепи 10 Ом. Векторная диаграмма имеет вид:

Чему равна амплитуда напряжения, приложенного к цепи, и каков характер сопротивления?

Решение:

,

Электрическая цепь обладает емкостным сопротивлением.

Задача № 10

В электрической цепи все элементы соединены последовательно. По векторной диаграмме напряжений восстановите принципиальную схему этой цепи.

Решение:

Задача № 11

К резистору сопротивлением R=1,5 кОм приложено напряжение u=120sin(wt—p/6) В. Записать выражение для мгновенного значения тока, определить его амплитудное и действующее значения, мощность. Построить векторную диаграмму для момента времени t =0.

Решение:

i = (u/R)sin(wt - p/6); i_m = u_m/ R = 0,08 A; i = 0,08sin(wt - p/6);

U = u_m/ = 85,1 В;

I = i_m/ = 0,057 А;

P = UI = 4,85 Вт.

 

Задача №12

Действующее значение переменного напряжения U, измеренное на резисторе сопротивлением R=1,2 к0м, составляет 820 мВ. Начальная фаза j_u = p/6 частота f = 150 Гц. Определить амплитудное и действующее значения тока в резисторе, записать выражение для его мгновенного значения. Зарисовать кривые изменения тока и напряжения и построить векторную диаграмму.

Решение:

u_m = U = 1,16 В;

i_m = u_m /R = 0,96 мА;

I = i_m/ = 0,68 А;

i = 0,96sin(942t + p/6).

 

Задача № 13

Через катушку индуктивности сопротивлением X_L=1,2 Ом проходит переменный ток частотой f = 800 Гц и амплитудным значением I_m =450 мА. Определить индуктивность катушки, действующее значение напряжения на ней, а также полную потребляемую мощность. Записать выражение для мгновенного значения напряжения на катушке.

Решение:

I = i_m/ = 0,32 А;

L = X_L / 2pf = 0,24 мГн;

I = U / X_L => U = I X_L = 0,38 В;

u_m = U = 0,54 В;

u = 0,54sin(5024t—p/2);

Q = UI = 0,12 вар.

Задача № 14

Действующие значения переменного напряжения и тока с частотой f = 25 Гц в катушке индуктивности U = 36,5 В и I = 1,25 А соответственно. Определить индуктивность катушки, записать выражения - для мгновенных значений напряжения и тока, построить графики изменения этих значений во времени.

Решение:

X_L = U / I = 29,2 Ом;

L = X_L / 2pf = 0,18 мГн;

u_m = U = 51,5 В;

i_m = I = 1,76 А.

i = 1,76sin(157t),

u=51,5sin(157t + p/2)

Задача № 15

Мгновенные значения тока и напряжения в конденсаторе i = 0,72 sin(2198t+50°) А и u = 340sin(2198t - 40°) В. Определить емкость и сопротивление конденсатора, полную потребляемую мощность и период сигнала.

Решение:

I = i_m / = 0,51 А; U = u_m / = 241 В;

X_C = U / I = 472 Ом

C = 1 / w X_C = 96 мкФ;

Т = 2p / w = 2,8×10^-3 с

Q = UI = 123 вар

 

Задача № 16

Два последовательно соединенных конденсатора емкостями С₁=2 мкф и С₂=1 мкФ подключены к источнику с частотой f = 100 Гц и действующим значением напряжения U = 105В. Определить действующие значения тока в цепи и напряжений на каждом из конденсаторов.

Решение:

X_C1 = 1 / 2pfC₁ = 1592,36 Ом;

1 / 2pfC₂ = 796,18 Ом;

X = X_C1 + X_C2 = 2388,54 Ом

I = U / X_C = 0,044 A;

U_C1 = IX_C1 = 70 В; U_C2 = IX_C2 = 35 В;

Задача № 17

В цепь переменного синусоидального тока частоты 50 Гц включены последовательно потребители: катушка индуктивности 0,4 Гн, резистор с сопротивлением 16 Ом и конденсатор емкостью 400 мкФ. Полное падение напряжения в цепи 500 В. Определить ток в цепи, напряжение на отдельных потребителях и активную мощность цепи.

 

Решение:

I = U/Z;

X_L = 2pfL = 125,6 Ом;

X_C = 1/2pfС = 7,9 Ом;

Z = (R² + (X_L - X_C)²)^1/2 = 118,8 Ом;

I = 4,2 А;

U_L = X_L I =527,5 В;

U_C = X_C I = 33,2 В;

U_R = R I = 67,2 В.

tgj =(X_L - X_C)/R = 7,35;

j = 82⁰;

P = UIcosj = 282,8 Вт.

 

Задача № 18

Полное сопротивление катушки 8 Ом, её индуктивность 300 мкГн. Действующее значение падения напряжения на ней составляет 4,8 В при частоте 2500 Гц. Определить угол сдвига фаз между током и напряжением и определить полную, активную и реактивную мощности, активное сопротивление катушки.

Решение:

I = U/Z = 0,6 А;

X_L = 2pfL = 4,7 Ом;

Z = (R_L² + X_L²)^1/2 => R_L = (Z² - X_L²)^1/2 = 6,5 Ом;

tgj = X_L / R_L = 0,72 => j = 36⁰;

S = UI = 2,88 ВА;

P = Scos j = 2,32 Вт;

Q = Ssin j = 1,69 вар.

Задача № 19

К потребителю, состоящему из последовательно соединенных резистора и конденсатора, подведено переменное напряжение с действующим значением 500 В. Активная мощность потребителя 320 Вт, коэффициент мощности равен 0,75. Определить ток в цепи, полную и реактивную мощность, полное, активное и реактивное сопротивление потребителя.

 

Решение:

S = P/ Scos j = 426 ВА;

I = S/U = 0,85 A;

Q = Ssin j = 282 вар;

Z = U/I = 588Ом;

cos j = R/Z;

R = Z cos j = 441 Ом;

X_C = Z sin j = 388 Ом.

Задача № 20

Катушка с индуктивным сопротивлением 140 Ом и конденсатор с емкостным сопротивлением 80 Ом соединены последовательно и подключены к источнику переменного тока с действующим значением напряжения 25 В и частотой 1 кГц. Амплитудное значение тока в цепи равно 282 мА. Определить полное сопротивление потребителя, активное сопротивление катушки и активную мощность.

Решение:

I = i_m / 2^1/2 = 0,2 A;

Z = U / I = 125 Ом;

Z² = R_L² + (X_L - X_C)²;

R_L² = Z² - (X_L - X_C)² = 12025;

R_L = 109 Ом;

tgj =(X_L - X_C)/R = 0,55;

j = 29⁰.

P = UIcosj = 4,4 Вт.

 

 

Задача № 21

К источнику переменного тока с действующим значением напряжения 50 В подключены параллельно соединенные катушка индуктивности с индуктивным сопротивлением 8 Ом и резистор сопротивлением 40 Ом. Определить токи в ветвях и неразветвленной части цепи и коэффициент мощности.

Решение:

I_L = U / X_L = 6,25 A;

I_R = U / R = 1,25 A;

I = (I_R² + I_L²)^1/2 = 6,4 A;

tg j =I_L / I_R = 5; j = 79⁰; cosj = 0,19.

Задача № 22

Электрическая цепь состоит из включенных параллельно резистора, конденсатора и катушки индуктивности. Токи во всех трех ветвях одинаковы и равны 15 А. Определить ток в неразветвленной части цепи.

Решение:

I = (I_R² + (I_L - I_С)²) ^1/2 = 15 A.

 

Задача № 23

Соединенные параллельно катушка индуктивности и конденсатор подключены к источнику переменного тока с напряжением 100 В. Определить ток в неразветвленной части цепи при индуктивном сопротивлении 20 Ом и емкостном сопротивлении 10 Ом.

Решение:

I_L = U/X_L = 5 A;

I_С = U/ X_C = 10 A;

I = I_С - I_L = 5 А.

Задача № 24.

К источнику переменного тока подключен резистор сопротивлением R = 160 Oм, соединенный параллельно с катушкой, индуктивность которой L = 0,023 Гн и активное сопротивление R_L = 60 Ом. Мощность, выделившаяся на резисторе, Р = 35 Вт, действующее значение тока в катушке I_L =702,5 мА. Определить емкость конденсатора, который необходимо подключить в цепь для получения резонанса токов, резонансную частоту, действующие значения входного напряжения и тока в неразветвленной части цепи до резонанса и в момент резонанса, а также активную и реактивную составляющие тока, полную, активную и реактивную мощности до резонанса и в момент резонанса. Построить векторные диаграммы для этих двух режимов.

Решение:

1.(до резонанса):

 

 

P_R = UR, I_R = U/R => U = (RP_R)^1/2 = 74,8 В

Z_L = (R_L² + X_L²)^1/2, X_L = 2pfL,

Z_L = U/I_L = 106,8 Ом,

f = (1/2pL) (Z_L² - R_L²)^1/2 = 612 Гц, X_L= 88,4 Ом

I = (I_а² + I_р²) ^1/2;

I_а = I_R + I_lа; I_р = I_lр;

I_R = U/R = 0,47 A; cos j_L = R_L / Z_L = 0,56; sin j_L = X_L / Z_L = 0,83;

I_lа = I_L cos j_L =0,39 A

I_lр = I_L sin j_L =0,58 A

I_а = 0,86 A

I_р = 0,58 A

I = 1,04 A

cos j = 0,83 sin j = 0,56

S = UI = 77,6 В×А P = UI cos j = 64,4 Вт Q = UI sin j = 43,3 вар

 

2.(резонанс):

 

X_L = X_C => C = 1/(4p²f²L) = 2,9 мкФ

При резонансе токов: X_L = X_C => I_С = I_lр;

I_ррез = I_lр - I_С = 0

I_арез = I_R + I_lа = I_а = 0,86 A

I_рез = I_арез = 0,86 A

j_рез = 0

S_рез = UI_рез = 64,3 В×А

P_рез = UI_рез cos j_рез = 64,4 Вт

Q_рез = UI_рез sin j_рез = 0

 

Задача № 25

i₁ = 6sin(ωt + π/4) (А). i₂ = 8sin(ωt - π/4) (А).

Чему равен ток в неразветвленной части цепи?

Решение:

,

I_А = I_1А + I_2А, где I_1А = I₁cos j₁, I_2А = I₂cos j₂.

I_р = I_1р - I_2р, где I_1р = I₁sin j₁, I_2a = I₂sin j₂.

I = (I_a² + I_р²)^1/2.

Задача № 26

К электрической цепи прикладывается напряжение U = 160 В. Сопротивление резистора R = 20 Ом, сопротивление катушки индуктивности X_L = 60 Ом. Определить напряжение на конденсаторе при резонансе.

 

 

Решение:

При резонансе в цепи протекает электрический ток = 8 А. При резонансе напряжений падение напряжения на катушке равно падению напряжения на конденсаторе.

= 360 В.

 

Задача № 27

Последовательно соединены R, L и C. L = 0,1 Гн; X_C = 31,4 Ом; f = 50 Гц. Выполняются ли условия резонанса?

Решение:

=> = 100 мкФ; = 28,4 Гц. Не выполняется.

 

Задача № 28

Последовательно соединены R, L и C. При каком условии векторная диаграмма имеет вид, изображенный на рисунке?

Решение:

При резонансе напряжений. X_L = X_C

ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЦЕПИ ПЕРЕМЕННОГО ТРЕХфазного ТОКА

Задача № 29

Полная мощность, потребляемая трехфазной нагрузкой 1000 В·А. Реактивная мощность 600 Вар. Найдите коэффициент мощности нагрузки.

=>

Задача № 30

Три одинаковые катушки включены в трехфазную сеть с линейным напряжением 380 В. Активное сопротивление каждой катушки 16 Ом, индуктивное 12 Ом. Катушки соединены треугольником. Определите активную мощность, потребляемую катушками.

Из треугольника сопротивлений è

,

 

Задача № 31

К трехфазной сети с линейным напряжением 380 В и частотой 50 Гц подключена равномерная нагрузка, соединенная звездой, с активным сопротивлением в фазе 70 Ом и индуктивностью 180 мГн. Определить линейный ток.

, ,

Задача № 32

В трехфазную сеть с действующим значением напряжения в фазе 380 В и частотой 50 Гц включена равномерная индуктивная нагрузка, соединенная треугольником. Коэффициент мощности нагрузки 0,85, а потребляемая мощность 1,44 кВт. Определить индуктивность катушек.

=>

, è

, из треугольника сопротивлений =>

Задача № 33

В каждую фазу трехфазной четырехпроводной цепи с нейтральным проводом последовательно включены активные, индуктивные и емкостные сопротивления. Сопротивления во всех фазах одинаковы и равны: активные 8 Ом, индуктивные 12 Ом, емкостные 6 Ом. Линейное напряжение сети 220 В. Определить фазные токи.

 

, ,

 

Задача № 34

Индуктивный потребитель мощностью 4,8 кВт соединен треугольником и подключен к трехфазной сети с линейным напряжением 380 В и частотой 50 Гц. Коэффициент мощности потребителя равен 0,8. Определить линейный ток.

 

, ,

Задача № 35

К источнику трехфазной сети с линейным напряжением U_л =380 В и частотой f = 50 Гц подключена равномерная нагрузка, соединенная звездой, с полным сопротивлением в фазе 90Ом и индуктивностью L = 180 мГн. Определить активную, реактивную и полную мощности, коэффициент мощности, действующие значения линейного тока и напряжения. Построить векторную диаграмму токов и напряжений.

Решение.

Фазное напряжение

U_л = U_ф / = 220 В.

Фазный ток

I_ф = U_ф / Z = 2,45 А.

Линейный ток

I_л = I_ф = 2,45 А.

Реактивное сопротивление в фазе

X_L = wL = 56,5 Ом.

Активное сопротивление в фазе

R = (Z² - X_L²)^1/2 = 70 Ом.

Коэффициент мощности катушки

cosj = R/Z = 0,778.

Мощности, потребляемые нагрузкой:

активная

P = 3U_ф I_ф cosj = 1260 Вт.

реактивная

Q = 3U_ф I_ф sinj = 1010 вар.

полная

S = 3U_ф I_ф = 1620 В×А

Векторная диаграмма токов и напряжений представлена на рисунке:

 

Задача № 36

К трехфазной четырехпроводнрй сети с дей­ствующим значением линейного напряжения U_л= 380 В и частотой f = 50 Гц подключен приемник энергии, соединенный звездой. В фазу А включена катушка с индуктивностью L = 0,18 Гн и активным сопротивлением R_A = 80 Ом, в фазу В -резистор сопротивлением R_B = 69 Ом, в фазу С - конденсатор емкостью С = 30 мкФ с последова­тельно соединенным резистором сопротивлением R_C = 40 Ом. Определить действующие значения линей­ных и фазных токов, полную потребляемую нагруз­кой мощность.

Решение.

Фазное напряжение

U_ф = U_л / = 220 В

Полное сопротивление:

в фазе А:Z_А = (R_A² + X_L²)^1/2 = 98 Ом.

в фазе В: Z_B = R_B= 69 Ом

в фазе С: Z_C = (R_C² + X_C²)^1/2 = 110 Ом.

Фазные токи:

I_A = U_ф/Z_A = 2,25 A; I_B = U_ф/Z_B = 3,2 A; I_C = U_ф/Z_C = 2 A

Коэффициенты мощности в фазах:

cosj_А = R_A /Z_A = 0,82; cosj_B = R_B /Z_B = 1; cosj_C = R_C /Z_C = 0,36.

Активная мощность:

P_A = U_ф I_A cosj_А = 405 Вт; P_B = U_ф I_B cosj_B = 704 Вт; P_C = U_ф I_C cosj_C = 160 Вт

P = P_A + P_B + P_C = 1269 Вт.

Реактивная мощность

Q_A = U_ф I_A sinj_А = 285 вар; Q_B = U_ф I_B sinj_B = 0 вар; Q_C = U_ф I_C sinj_C = 425 вар;

Q = Q_A + Q_B + Q_C = -140 вар.

Полная мощность нагрузки: S = (P² + Q²)^1/2 = 1280 В×А

 

Задача № 37

В трехфазную сеть с действующим значением линейного напряжения 220 В и частотой 50 Гц включен потребитель, соединенный тре­угольником и имеющий равномерную нагрузку, со­стоящую из катушки с индуктивностью L = 0,3 Гн и последовательно включенного с ней резистора с активным сопротивлением 20 Ом в каждой фазе. Определить действующие значения линейных и фаз­ных токов, фазное напряжение, потребляемую полную, активную и реактивную мощности.

Решение.

Фазное напряжение

U_ф = U_л = 220 В

Полное сопротивление нагрузки в фазе

Z = (R² + X_L²)^1/2 = 96 Ом.

Ток в фазе

I_ф = U_ф/Z_A= 2,3 A

Ток линейный

I_Л = I_Ф = 4 А

Коэффициент мощности: cosj = R /Z = 0,208;

Мощность нагрузки:

Активная: P = 3U_ф I_ф cosj = 317 Вт.

Реактивная: Q = 3U_ф I_ф sinj = 1470 вар.

Полная: S = 3U_ф I_ф = 1520 В×А

Трансформатор

Задача № 38

Трехфазный трансформатор, обмотки которого соединены способом «звезда‑звезда», имеет следующие характеристики: потери холостого хода 140 Вт, потери в режиме короткого замыкания 650 Вт. Трансформатор отдает в нагрузку активную мощность 6000 Вт. Коэффициент загрузки трансформатора 0,8. Определить КПД трансформатора.

 

 

Задача № 39

Номинальное напряжение первичной обмотки трехфазного трансформатора, обмотки которого соединены способом «звезда‑звезда», равно10 кВ. Амплитудное значение магнитной индукции в сердечнике трансформатора 1,6 Тл, площадь поперечного сечения магнитопровода трансформатора 25см², вторичная обмотка содержит 65 витков. Линейный коэффициент трансформации равен 15. Найдите частоту переменного тока в сети.

 

,

è

, è

 

Задача № 40

Обмотки трехфазного трансформатора соединены способом «звезда‑звезда». Трансформатор имеет следующие характеристики: U_2Н = 690 В, B_m = 1,3 Тл, N₂ = 70 витков. Частота переменного тока в сети 100 Гц. Определите площадь поперечного сечения магнитопровода.

 

è

è

 

 

Задача № 41

Трехфазный трансформатор характеризуется следующими параметрами: номинальный ток вторичной обмотки 87 А, потери холостого хода трансформатора 800 Вт, потери короткого замыкания 4000 Вт, КПД трансформатора 0,92. Рабочий ток во вторичной обмотке равен 71 А. Какая активная мощность передается нагрузке от трансформатора?

 

; è

 

 

Задача № 42

Трехфазный трансформатор характеризуется следующими параметрами: полная мощность трансформатора 160 кВ×А, потери короткого замыкания 3000 Вт, КПД трансформатора 0,95. Трансформатор отдает нагрузке активную мощность 100 кВт. Коэффициент мощности нагрузки 0,85. Чему равны потери холостого хода?

 

è

è

 

 

Задача № 43

Чему равна полная мощность трехфазного трансформатора с номинальным током вторичной обмотки 91 А, если нагрузке с коэффициентом мощности 0,75 передается активная мощность 1000 кВт? Рабочий ток при этом равен 80 А.

 

; è

 

Асинхронные двигатели

Задача № 44

Три катушки обмотки статора асинхронного двигателя питаются трехфазным током частотой 50 Гц. Частота вращения ротора 2850 об/мин. Найдите скольжение.

Задача № 45

Скольжение асинхронного двигателя 5 %; частота питающей сети 50 Гц; число пар полюсов вращающегося магнитного поля р = 1. Найдите частоту вращения ротора.

Задача № 46

Определить число полюсов у статора обмотки асинхронного трехфазного двигателя, имеющего номинальную частоту вращения 750 об/мин.

=>

Задача № 47

Частота питающего тока 50 Гц. Найдите скорость вращения четырехполюсного вращающегося магнитного поля в об/мин.

,

 

Задача № 48

Чему равна сумма потерь асинхронного двигателя при КПД 90%, если он потребляет активную мощность 20 кВт?

=>

Задача № 49

Определите КПД асинхронного двигателя, если потери энергии в нем 5 кВт, а потребляемая из сети мощность 25 кВт.