Примеры компактных и некомпактных множеств

Содержание

 

Введение........................................................................................................... 3

§1. Основные понятия и определения............................................................. 4

1.1. Линейные пространства........................................................................... 4

1.2. Нормированные пространства................................................................ 5

1.3. Банаховы пространства............................................................................ 6

1.4. Компактные множества............................................................................ 8

1.5. Линейные операторы и линейные функционалы.................................. 11

1.6. Сопряженные операторы....................................................................... 12

§2. Компактные операторы........................................................................... 13

2.1. Определение компактного оператора................................................... 13

2.2. Свойства компактных операторов......................................................... 13

2.3. Примеры некомпактного и компактных операторов........................... 16

Литература..................................................................................................... 20

Введение

 

Изучение произвольных линейных операторов представляет собой весьма трудоемкую задачу, однако среди линейных операторов можно выделить классы операторов, которые могут быть рассмотрены более подробно. Данная работа рассматривает основные понятия, свойства, определения и теоремы, связанные с одним из классов линейных операторов – компактными операторами.

Работа состоит из двух параграфов. Первый из них содержит предварительные сведения, необходимые для рассмотрения темы: понятия пространств, которые необходимы при изучении компактных операторов, понятия линейного оператора и линейного функционала, сопряженного оператора, компактного множества. Во втором параграфе рассмотрено определение компактного оператора, основные свойства этого класса операторов и примеры компактных и некомпактного оператора.

Основные понятия и определения.

Линейные пространства.

Определение: Непустое множество элементов называется линейным, если оно удовлетворяет таким условиям:

I. Для любых двух элементов определен единственный элемент , называемый суммой и обозначаемый , причем

1) ;

2) ;

3) в существует такой элемент 0, что для всех ;

4) для каждого существует такой элемент , что .

II. Для любого числа и любого элемента определен элемент , причем

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

([1], стр. 120).

Примеры линейных пространств

1. Пространство действительных чисел является линейным пространством по операциям сложения и умножения.

2. – пространство, элементами которого являются последовательности чисел , удовлетворяющих условию с операциями ,

([1], стр. 121).

 

Нормированные пространства

Определение: Множество называется нормированным пространством, если:

1) – линейное пространство над полем действительных или комплексных чисел.

2) Для каждого элемента определено вещественное число, называемое его нормой и обозначаемое , и выполнены условия:

а) для любого ;

б) для любого и любого ;

в) , для любых

([1], стр. 138).

Примеры нормированных пространств:

1. Пространство становится нормированным, если положить .

2. Пространство с элементами нормировано, при условии .

3. Пространство функций, непрерывных на отрезке , нормировано, если взять .

([1], стр. 139).

 

Банаховы пространства

Определение: Расстоянием (метрикой) между двумя элементами и называется вещественное неотрицательное число, обозначаемое и подчиненное трем аксиомам:

1) ;

2) ;

3) ;

Определение: Последовательность точек метрического пространства называется фундаментальной, если при .

Справедливы утверждения:

1. Если последовательность сходится к некоторому пределу, то она фундаментальна.

Доказательство:

Пусть , тогда , при

2. Всякая фундаментальная последовательность ограничена.

Определим расстояние в нормированном пространстве , полагая для любых . Тогда означает, что . Это сходимость по норме.

Фундаментальная последовательность в нормированном пространстве в соответствии с определением расстояния характеризуется условием

, при

Определение: Нормированное пространство называется полным, если всякая фундаментальная последовательность его элементов имеет предел.

Определение: Полное нормированное пространство называется банаховым пространством.

([2], стр. 137)

 

Компактные множества

Определение: Множество в метрическом пространстве называется компактным, если из всякой бесконечной последовательности можно выделить подпоследовательность, сходящуюся к некоторому пределу .

Определение: Множество , лежащее в некотором метрическом пространстве , называется предкомпактным, или относительно компактным (компактным относительно ), если его замыкание в компактно.

Определение: Множество называется ограниченным, если оно содержится в некотором шаре с центром в точке , то есть существует такая постоянная , такая, что для любого выполняется неравенство

В курсе теории метрических пространств доказывалось, что любое компактное множество является ограниченным. Докажем, что любое относительно компактное множество также является ограниченным.

Теорема: Множество , лежащее в некотором метрическом пространстве , и относительно компактное, является ограниченным.

Доказательство. Замыкание множества М является компактным, следовательно, ограниченным. Но , а подмножество ограниченного множества также ограничено.

В конечномерном пространстве выполняется также обратное утверждение.

Теорема: В конечномерном пространстве всякое ограниченное подмножество относительно компактно.

 

Эта теорема следует из теоремы Больцано-Вейерштрасса для пространства : в этом пространстве всякая ограниченная последовательность содержит сходящуюся подпоследовательность.

Можно доказать также более общую теорему.

Теорема: В конечномерном нормированном пространстве всякое ограниченное подмножество относительно компактно.

Доказательство:

Пусть – ограниченное подмножество n–мерного пространства , т. е. существует такая константа , что для всех . Каждому сопоставляем вектор , координаты которого равны соответствующим координатам в разложении элемента по некоторому фиксированному базису. Тогда справедливо следующее неравенство: (1), где – наименьшее значение на единичном шаре , . Возьмем любую последовательность . По неравенству (1) соответствующие этим элементам векторы образуют ограниченное множество, а в ограниченные множества относительно компактны, следовательно, из последовательности , можно выделить частичную , сходящуюся к некоторому пределу.

Сходимость в есть сходимость по координатам, следовательно, и последовательность сходится по координатам. Но тогда эта последовательность сходится к некоторому пределу и по норме (в силу непрерывности суммы и произведения в нормированных пространствах). Тем самым относительная компактность доказана.

Определение: Семейство функций называется равностепенно непрерывным, если для любого найдется такое , что , для любой функции , для любых , таких, что .

Определение: Семейство функций , определенных на некотором отрезке, называется равномерно ограниченным, если существует такое число , что , для любого

Теорема Арцела: Для того чтобы семейство непрерывных функций, определенных на отрезке , было предкомпактно в , необходимо и достаточно, чтобы это семейство было равномерно ограничено и равностепенно непрерывно.

Теорема: Образом компактного множества при непрерывном отображении является компактное множество.

Докажем аналогичную теорему для относительно компактных множеств.

Теорема: Образом относительно компактного множества при непрерывном отображении является относительно компактное множество.

Доказательство. Пусть – непрерывное отображение, – относительно компактное множество. Рассмотрим последовательность точек из множества : , . Так как множество относительно компактно, то существует подпоследовательность . Так как отображение – непрерывное, то . Значит, для множества выполнено условие относительной компактности.

 

Примеры компактных и некомпактных множеств

1. В пространстве всякий отрезок будет компактен. (Так как пространство конечномерно, а данный отрезок является замкнутым и ограниченным множеством).

2. В пространстве шар с центром в и радиусом , то есть множество точек , таких, что , является компактным. (Аналогично по доказанной теореме).

3. В пространстве множество будет компактным, поскольку какую бы мы ни взяли бесконечную последовательность его элементов, из неё всегда можно будет выделить подпоследовательность, состоящую из одного элемента множества, которая, очевидно, будет сходящейся к этому элементу множества (определение).

4. В пространстве рассмотрим множество элементов , , … (у последовательности единица стоит на –м месте, а на остальных местах нули). Оно ограничено и замкнуто, но никакая подпоследовательность последовательности не фундаментальна и, значит, не сходится, поскольку при . Множество некомпактно.