1.Простейшим примером компактного оператора является одномерный линейный оператор вида: 
, где 
– фиксированный элемент из пространства 
, а 
– фиксированный линейный функционал из пространства 
, которое является банаховым пространством.
2.Рассмотрим в пространстве 
оператор 
, преобразующий в себя и задаваемый бесконечной системой равенств 
при условии, что двойной ряд 
сходится. Такой оператор линеен и норма 
. Докажем что он компактен. Введем матричные линейные операторы 
в пространстве , определяемые матрицами 
, следующим образом:
, где 
при 
, и 
при 
.
Иными словами, матрица получается из матрицы 
, если элементы всех строк 
, начиная с 
, заменить нулями. Отсюда вытекает, что, если 
, то, каков бы ни был элемент 
, будет 
при . Следовательно, совокупность значений каждого из операторов 
конечномерна, а потому операторы вполне непрерывны. Представим разность 
с помощью матрицы. Из оценки 
видно, что 
.
Следовательно, оператор 
компактен. ([2], стр. 307).
3. В пространстве непрерывных функций 
важный класс компактных операторов образуют операторы вида:
(3), где функция 
непрерывна на квадрате 
.
Покажем справедливость следующего утверждения: если функция 
непрерывна на квадрате 
, то формула (3) определяет в пространстве компактный оператор.
Действительно, в указанных условиях интеграл (3) существует для любого 
из 
, то есть функция 
определена. Пусть 
. На квадрате функция 
равномерно непрерывна по теореме Кантора, т.к. она непрерывна на замкнутом и ограниченном множестве в 
. Значит,
.
Оценим разность 
:
, при 
.
Полученное равенство показывает, что функция непрерывна, то есть формула (3) действительно определяет оператор, переводящий пространство 
в себя.
Из этого же неравенства видно, что если 
– ограниченное множество в 
, то соответствующее множество 
равностепенно непрерывно. Таким образом, если выполняется неравенство 
, то 
,
То есть ограниченное множество перейдет в равномерно ограниченное. Таким образом, оператор (3) переводит всякое ограниченное множество из в множество функций, равномерно ограниченное и равностепенно непрерывное, т.е. предкомпактное по теореме Арцела.
Оператор Вольтерра
Рассмотрим оператор 
, где 
, в 
.
Для доказательства компактности оператора Вольтерра покажем, что множество 
, равностепенно непрерывно и равномерно ограничено.
1) Равномерная ограниченность.
Оценим
,
а это значит, что множество равномерно ограниченно.
2) Равностепенная непрерывность.
По определению, равностепенная непрерывность означает, что
. Возьмем произвольную функцию 
. Найдем ее образ 
. Тогда 
.
Тогда, если положить 
, равностепенная непрерывность показана.
Таким образом, компактность оператора Вольтерра доказана.
Литература
1. Колмогоров, А.Н. Элементы теорий функций и функционального анализа [Текст] / А.Н. Колмогоров, С.В. Фомин. – М.: Физматлит, 2004.
2. Вулих, Б.З. Введение в функциональный анализ [Текст] / Б.З. Вулих. –Изд. 2, перераб. и доп. – М., 1967.
3. Князев, П.Н. Функциональный анализ [Текст] / П.Н. Князев– Изд. 2, перераб. М., 2003.
4. Люстерник, Л.А. Элементы функционального анализа [Текст] / Л.А. Люстерник В.И. Соболев– М., 1951.