Вопросы по курсу «Алгебра и геометрия»
Учебный год
для студентов групп 1011-1015.
Раздел I. Линейная алгебра.
1. Понятие матрицы. Основные операции над матрицами. Сложение матриц и умножение матрицы на число. Свойства этих операций.
2. Понятие матрицы. Основные операции над матрицами. Умножение матриц и транспонирование матриц. Свойства этих операций.
3. Определители второго и третьего порядков. Понятие определителя n-го порядка. Общая формула.
4. Свойства определителей.
5. Миноры и алгебраические дополнения элементов матрицы. Способы вычисления определителей.
6. Обратная матрица.
7. Линейная зависимость и линейная независимость систем векторов.
8. Ранг матрицы. Теорема о ранге матрицы. Метод элементарных преобразований вычисления ранга матрицы.
9. Понятие системы линейных уравнений. Основные определения. Матричная запись системы линейных алгебраических уравнений.
10. Совместность системы линейных уравнений. Теорема Кронекера-Капелли.
11. Квадратные системы. Формулы Крамера. Решение системы уравнений с использованием обратной матрицы.
12. Структура общего решения совместной неоднородной системы линейных алгебраических уравнений.
13. Однородные системы линейных алгебраических уравнений. Свойства решений. Фундаментальная система решений однородной системы линейных уравнений.
Раздел II. Аналитическая геометрия.
1. Декартовы прямоугольные системы координат на плоскости и в пространстве. Полярные системы координат.
2. Простейшие задачи аналитической геометрии.
3. Понятие вектора. Линейные операции над векторами и их свойства.
4. Коллинеарность векторов. Геометрический смысл линейной зависимости двух векторов. Компланарность. Геометрический смысл линейной зависимости трех векторов. Линейная зависимость четырех векторов.
5. Базис и координаты векторов на плоскости и в пространстве. Декартовы прямоугольные координаты, основные формулы. Геометрический смысл декартовых прямоугольных координат вектора.
6. Скалярное произведение векторов. Определение, основные свойства. Выражение скалярного произведения через координаты сомножителей.
7. Векторное произведение. Определение, геометрический смысл, основные свойства. Выражение векторного произведения через координаты сомножителей.
8. Смешанное произведение векторов, его геометрический смысл и основные свойства. Выражение смешанного произведения векторов через координаты сомножителей.
9. Общее уравнение прямой на плоскости и его исследование. Уравнение прямой в отрезках.
10. Каноническое уравнение прямой на плоскости. Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки. Параметрические уравнения прямой. Уравнение прямой с угловым коэффициентом.
11. Угол между двумя прямыми на плоскости. Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых на плоскости.
12. Нормированное уравнение прямой на плоскости. Приведение общего уравнения прямой на плоскости к нормированному виду. Расстояние от точки до прямой на плоскости.
13. Плоскость в трехмерном пространстве. Общее уравнение плоскости и его исследование. Уравнение плоскости в отрезках.
14. Угол между двумя плоскостями. Условия параллельности и перпендикулярности двух плоскостей. Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки.
15. Нормированное уравнение плоскости. Приведение общего уравнения плоскости к нормированному виду. Расстояние от точки до плоскости.
16. Прямая в пространстве как линия пересечения двух плоскостей. Канонические и параметрические уравнения. Уравнения прямой, проходящей через две заданные точки.
17. Угол между прямыми в пространстве. Условия параллельности и перпендикулярности прямых. Исследование взаимного расположения двух прямых в пространстве.
18. Исследование взаимного расположения прямой и плоскости.
19. Эллипс. Определение, каноническое уравнение, исследование формы.
20. Гипербола. Определение, каноническое уравнение, исследование формы.
21. Парабола. Определение, каноническое уравнение, исследование формы.
22. Эллипсоид. Каноническое уравнение. Исследование формы. Эллипсоид вращения.
23. Однополостный гиперболоид. Каноническое уравнение. Исследование формы. Однополостный гиперболоид вращения.
24. Двуполостный гиперболоид. Каноническое уравнение. Исследование формы. Двуполостный гиперболоид вращения.
25. Эллиптический параболоид. Каноническое уравнение. Исследование формы. Параболоид вращения.
26. Гиперболический параболоид. Каноническое уравнение. Исследование формы.
27. Цилиндрические и конические поверхности.