Связь координатного и естественного способов

Заданий движения точки

Рассмотрим движение точки в плоскости. Уравнения движение точки заданы координатным способом

Уравнение движения точки, заданной в естественной форме связано с координатным способом соотношением

Скорость при естественном задании тогда равна

Для касательной составляющей ускорения имеем

Нормальная составляющая ускорения связана с модулем ускорения и углом (угол – угол между вектором ускорения и вектором скорости , рис. 3..10, соотношением:

Модуль векторного произведения векторов и

Рис. 3.10 также связывает , и углом :

Тогда:

Связь координатного и естественного способов заданий движения точки

Пример 3.1. Движение точки в плоскости задано координатным способом уравнениями , :

	(а)
(б)

где и выражены в см, - в с.

Требуется задать движение точки в явном виде; вычислить скорость, нормальную и касательную составляющие ускорения, радиус кривизны траектории в соответствующей точке для момента времени с.

Решение. Дляпостроения траектории в декартовой системе координат определим область значений и . Функции и - ограничены, тогда область значений и определяется неравенствами:

; .

Получим зависимость . Для этого из (а)–(б) исключим параметр . Введём обозначение , тогда уравнения (а) и (б) перепишутся в виде:

Распишем первое уравнение полученной системы, используя формулу двойного угла (), приведем подобные члены и выразим через :

Из второго уравнения выразим через , получим:

(с)

Итак, траекторией точки является парабола с координатой вершины , ветви параболы вытянуты вдоль оси слева от вершины (рис. 3.11).

При функция убывает, а - возрастает (рис.1.18); следовательно, точка из положения начинает движение по верхней ветви параболы до точки , далее точка движется обратно по верхней ветви траектории и через точку с координатами движется по нижней ветви параболы до точки – и т.д.

В целом точка М совершает колебательные движения по построенной параболе в ограниченной пунктиром области. Направление движения в первые 2 с указано стрелкой на рис. 3.11.

Вычислим положение точки на траектории при с:

(см);

(см).

2.Вычислим скорость точки при с.

(см/с);

(см/с).

Cправка. Формулы приведения:

;

Значения и отложим в масштабе на графике (рис. 3.12, а).

Рис. 3.12

Вектор скорости точки является диагональю параллелограмма, достроенного на этих векторах, и определяет направление движения точки, а также определяет направление и положение касательной оси .

Вычислим ускорение точки при с:

(см/с²);

(см/с²).

Вектор ускорения точки – - получаем построением параллелограмма на проекциях ускорений и в выбранном масштабе (рис. 3.12, б).

Как видно из рис. 3.12, в вектор полного ускорения точки направлен внутрь вогнутости траектории движения точки.

Касательная и нормальная составляющие ускорения точки (рис. 3.13). При координатном способе задания движения указанные составляющие ускорения рассчитываются по формулам:

(см/с²);

Рис. 3.13

Касательное и нормальное ускорения точки можно вычислить геометрически. Для этого в точке

необходимо построить оси естественного трехгранника

. Положение и направление оси

определили ранее - по построенному вектору скорости точки

. Перпендикулярно этой оси, в сторону

вогнутости траектории, проведём главную нормаль (полуось). Отложим в масштабе проекции и и построим вектор (рис. 3.13). Проекция вектора ускорения на ось будет соответствовать касательной составляющей ускорения . Измеряя длину указанного вектора и умножая на масштаб, получим значение ; в данном случае (см/с²). Вектор совпадает по направлению с вектором скорости точки , следовательно, движение точки по параболе в данный момент времени – ускоренное.

Соответственно, проекция на ось будет определять нормальное ускорение . Измеряя длину полученной проекции и умножая на масштаб, получим значение ; в данном случае (см/с²).