Вращательное движение твердого тела

	Вращением твердого тела вокруг неподвижной точки А в плоскостиназывается такое его движение, при котором точка А остаются неподвижной в течение всего времени движении тела, а все другие точки тела вращаются вокруг точки в плоскости по окружности соответствующего радиуса (рис. 4.4).
Рис. 4.4

Точка А называется центром вращения тела.

В этом случае тело имеет одну степень свободы и его уравнение движения имеет вид:

. (4.2)

Пусть при движении тела остаются неподвижными две точки принадлежащие телу (точки на рис. 4.5). При этом неподвижными останутся все точки тела, расположенные на прямой, проходящей через эти неподвижные точки. Прямая называется осью вращения.

Вращением твердого телавокруг неподвижной оси называется такое его движение, при котором точки тела, расположенные на оси, жестко связанной с телом, остаются неподвижными в течение всего времени движения.

	Через ось вращения проведем неподвижную плоскость П0 и подвижную П, скрепленную с вращающимся телом (рис. 4.5). Тогда в момент времени t положение подвижной плоскости и, следовательно, абсолютно твердого тела определяется углом между плоскостями – . Угол называется углом поворота тела.
Рис. 4.5

Совместим декартову систему координат с телом так, чтобы ось вращения тела совпала с осью , тогда плоскость будет перпендикулярна оси вращения.

Все точки, лежащие на прямой, параллельной оси вращения и отстоящей от нее на , будут вращаться вместе с телом в плоскости по окружности, радиус которой равен (рис. 4.5). За полюс выберем точку А (отметим, что ). Проведем в плоскости прямую . В рассматриваемом случае положение тела относительно выбранной системы отсчета полностью определяется в любой момент времени одним параметром

, (4.2’)

т.е. углом, который отрезок АВ образует с осью Aх.

Уравнение (4.1’) называют уравнением вращения твердого тела вокруг неподвижной оси. Угол в правой декартовой системе координат считается положительным, если он откладывается против часовой стрелки, при этом смотреть нужно с положительного направления оси . Траектории всех точек тела при его вращении вокруг неподвижной оси являются окружности, расположенные в плоскостях, перпендикулярных оси вращения.

Угловая скорости и угловое ускорение тела. Введем единичный вектор оси вращения – (рис. 4.6), направленный по оси вращения .

Средней угловой скоростью тела, повернувшегося за время на угол называют соотношение , т.е.

.

Мгновенная угловая скорость тела в момент времени t определяется как предел средней угловой скорости при
Δt → 0, т.е.

(4.3)

Вектор угловой скорости параллелен единичному вектору .

Модуль угловой скорости обозначается через и равен

(4.3’)

Размерность угловой скорости [w]=угол/время=рад/с=с^-1. В технике угловая скорость – это частота вращения, выраженная в оборотах в минуту. За 1 мин. тело повернется на угол 2pn, здесь n – число оборотов в минуту. Разделим этот угол на число секунд в минуту, получим

; . (4.4)

Средним угловым ускорением тела за время Δt называется отношение , т.е.

.

Угловым ускорением твердого тела в момент времени t называют предел, к которому стремится среднее ускорение при Δt → 0, т.е.

. (4.5)

Модуль углового ускорения обозначается через и равен

. (4.5’)

Размерность углового ускорения [e]=рад/с²=с^-2.

Введем определения:

– модуль угловой скорости тела,

– модуль углового ускорения тела.

Знак производной определяет направление вращения тела:

– при , тело вращается против часовой стрелки;

– при , тело вращается по часовой стрелки;

– при , , или , – тело движется ускоренно;

– при , или , – тело движется замедленно.

Модуль угловой скорости и модуль углового ускорения на рисунках изображают дуговыми стрелками вокруг оси вращения тела. Если первая и вторая производные от угла поворота имеют одинаковые знаки, т.е. , (рис. 4.7, а), или , , то тело вращается ускоренно и дуговые стрелки направлены в одну сторону. Если первая и вторая производные от угла поворота имеют разные знаки, т.е. ,
(рис. 4.7, б), или , , то тело вращается замедленно, тогда дуговые стрелки направлены в разные стороны.

Рис. 4.7

Скорость и ускорение точек твердого тела при его вращении вокруг неподвижной оси. Все точки тела, отстоящие от оси вращения на одном расстоянии, вращаются по одному радиусу (рис. 4.8, а). Точки, лежащие в плоскости, перпендикулярной оси вращения (в плоскостях ), одновременно поворачиваются на один и тот же угол (рис. 4.8, б).

а	б
Рис. 4.8

Путь, который проходит точка тела из положения в положение М, по дуге S выражается через угол зависимостью = , где – радиус окружности по которой движется точка, рис. 4.7, б. Приведем оси естественного трехгранника к точке М. Ось будет совпадать с радиусом и проходить через центр вращения А, ось ей перпендикулярна и направлена по направлению вращения тела.

Точка твердого тела при его вращении движется по окружности радиуса в направлении дуговой стрелки . Тогда, если – уравнение вращения тела, то – уравнение движения точки тела М, заданной естественным способом.

Тогда:

(4.6)

Здесь - угловая скорость тела. Скорость точки М тела направлена по касательной к траектории – (рис. 4.9, а).

а	б
Рис. 4.9

Ускорение точки М состоит из касательного и нормального ускорений (рис. 4.9, б):

(4.7)

Направление касательного ускорения зависит от знака . При и или и направления векторов и совпадают.

Если и , то и направлены противоположно друг другу. Полное ускорения точки М:

Обозначим через a – угол между полным ускорением и радиусом вращения точки, имеем

.

Заметим, что нормальное ускорение всегда положительно. Угол a для всех точек тела один и тот же. Следовательно, если известен угол a, то в любой другой точке можно узнать направление ускорения, например в точке . Откладывать его следует от вектора ускорения к радиусу вращения в направлении дуговой стрелки e независимо от направления вращения твердого тела (рис. 4.8, б).