Преобразование простейших движений

Преобразование поступательного движения тела во вращательное. Рассмотрим диск, на обод которого намотана нерастяжимая нить (нерастяжимый трос, канат и.т.д.) за конец которой прикреплен груз
(рис. 4.10).

Запишем уравнение, связывающее угловую () и дуговую () координаты, иначе говоря – уравнение связи. Для этого свяжем перемещение точек нити и точек, лежащих на ободе диска, радиус которого равен . Пусть тело опустилось на , тогда диск повернется на угол против часовой стрелки

Рис. 4.10

. Известно, что длина дуги, радиус окружности и угол

связаны между собой:

. Тогда:

Здесь , .

Преобразование вращательного движения вокруг одной неподвижной оси во вращательное движение вокруг другой неподвижной оси. Преобразование вращения одного твердого тела вокруг неподвижной оси во вращение второго твердого тела вокруг другой неподвижной оси осуществляется посредством зубчатого или фрикционного (за счет сил трения) зацепления двух дисков (рис. 4.11, а, б), или при помощи ременной передачи (рис. 4.11, в, г).

При внешнем зацеплении (рис. 4.11, а) и прямой ременной передаче
(рис. 4.11, в) направления вращений обоих дисков совпадают; при внутреннем зацеплении (рис. 4.11, б) и скрещивающейся ременной передаче (рис. 4.11 г) направление вращения дисков противоположно.

Примем за ведущее звено диск 1, за ведомое– диск 2. Пусть диск 1 за время повернулся по часовой стрелке на угол , тогда диск 2 повернется против часовой стрелки на угол . Тогда путь , пройденный точками на ободе дисков, находящихся в зацеплении, или связанные ременной передачей, одинаков. На этом основании запишем уравнение связи. Напомним, что длина дуги, угол поворота и радиус связаны соотношением: . Тогда, для всех типов зацепления имеем

. (4.8)

Рис. 4.11

Дифференцируя по времени правые и левые части (а), получим

Здесь – угловая скорость тела, – угловое ускорение тела,

r₁, r₂ – радиусы дисков.

Угловые скорости дисков обратно пропорциональны числам зубцов (z_i), или радиусам (r_i), или диаметрам (d _i) дисков.

здесь d₁, d₂ – диаметры дисков; z₁, z₂ – число зубцов каждого диска.

Часто применяется соединение дисков, когда два диска вращаются вокруг одной неподвижной оси. Если при этом они жестко соединены друг с другом, то их угловые скорости равны (на рис. 3.25, в – второй диск).

Формулы Эйлера

Выразим скорость, касательное, нормальное и полное ускорения точки тела в векторной форме.

Скорость точки М по модулю и направлению можно представить векторным произведением

, (4.9)

где - радиус-вектор точки М, проведенный из произвольной точки оси вращения , например точки О. Записанное выражение (4.9) называется векторной формулой Эйлера. Убедимся в справедливости этой формулы. Вектор перпендикулярен плоскости , т.е. лежит в плоскости вектора скорости , рис. 4.12. Модуль векторного произведения

так как . Таким образом, векторное произведение по модулю и направлению определяет скорость точки М.

Вычислим вектор ускорения:

Учитывая, что , , получаем

. (4.10)

Здесь для первого слагаемого

Вектор перпендикулярен плоскости , т.е. лежит в плоскости вектора скорости . (рис. 4.12). Итак,

Для второго слагаемого (4.9) имеем

здесь векторы и взаимно перпендикулярны. Направление вектора перпендикулярно плоскости , т.е. лежит в плоскости вектора скорости . Итак,

Первое слагаемое соответствует касательному ускорению , а второе –нормальному , т.е.

. (4.11)

Справедливость формул подтверждена.

Формулы Эйлера

Примеры решения задач

Пример 1. Для спуска груза 4 диск 1 вращается вокруг неподвижной оси, согласно уравнению: и приводит во вращение диски 2 и 3, которые имеют общую неподвижную ось вращения и жестко скрепленные друг с другом (рис. 4.13). Диск 1 и 2 связаны зубчатой передачей, r₁=0,2м, R₂=0,4м, r₃=0,3м. Груз 4 и диск 1 связаны нерастяжимым тросом.

Рис. 4.13

Вычислить в момент времени t=5с:

1. скорость и ускорение груза 4;

2. ускорение в точке А второго диска.

Решение. Вычислим угловую скорость и угловое ускорение ведущего диска 1.

Имеем

(а)

В этот момент времени первый диск вращается по часовой стрелке ускоренно т. к. <0 и <0, дуговые стрелки w₁ и e₁ следует направить в одну сторону (рис. 4.14, а). Тогда диски 2 и 3 за счет зубчатой передачи будут вращаться против часовой стрелки.

Запишем уравнения связи. Для этого, согласно (4.8), свяжем перемещение точек соприкосновения 1-го и 2-го дисков, 3-его диска и тела 4 (через нерастяжимый трос). Имеем:

;

а	б

Рис. 4.14

Вычислим угловые скорости и угловые ускорения дисков:

(б)

Вычислим ускорение в точке А диска 2. Свяжем с точкой А оси естественного трехгранника , рис. 4.14, б. Имеем:

; ;

Вычислим угол между вектором и :

, .

Направление вектора показано на рис. 4.14, б.

Рис.4.15

Пример 2. Механизм (рис. 4.15) состоит из двух ступенчатых дисков (2 и 3), связанных ременной передачей, барабана 4, соединенного с диском 3 нерастяжимым тросом, и груза 1, привязанного к концу нерастяжимой нити, намотанной на малый радиус диска 2.

Уравнение движения ступенчатого диска 3 задано уравнением: (рад). Радиусы ступеней дисков составляют соответственно м, м; м; м; радиус барабана м.

В момент времени с вычислить:

Решение. Вычислим угловую скорость и угловое ускорение ведущего диска 3 для заданного момента времени с и о пределим направление движения звеньев механизма:

(с^-1);

(с^-2).

Движение ведущего диска 3 ускоренно и направлено против часовой стрелки, т.к. , . Следовательно, движение всех звеньев механизма будет ускоренным, как показано дуговыми стрелками на рис. 4.16.