С 2. Равновесие составных конструкЦий

Задача 119

Конструкция состоит из стержня ВС и АС, которые шарнирно соединены в точке С

 

 

Внешними связями, наложенными на конструкцию, являются жёсткая заделка в точке А и невесомый стержень в точке В. Конструкция находится в равновесии под действием сосредоточенной силы и распределённой нагрузки, действующей на половине участка BC по линейному закону с интенсивностью .

Определить реакции внешних и внутренних Связей в точках А, B и С если

 

 

Для определения реакций связей расчленим конструкцию и рассмотрим равновесие каждой её части отдельно.

Рассмотрим равновесие стержня АС(рис 8).Проведём координатные оси xAy и изобразим действующие на стержень силы: силу и реакции связей. Реакцию жёсткой заделки А изобразим моментом М_А и двумя составляющими и , реакцию шарнира С двумя её составляющими и .

 

 

Стержень АС находится в равновесии под действием произвольной плоской системы сил, для которой можно записать три независимых уравнения равновесия.

 

 

 

Рассмотрим равновесие стержня ВС. Проведём координатные оси xВy и изобразим действующие на стержень силы: равнодействующую распределённой нагрузки ( =qb) приложенную в точке К ВК=0,5b и реакции связей. Реакцию невесомого стержня в точке В направим горизонтально вправо, а реакции шарнира С (, ) направим, согласно аксиоме о равенстве сил действия и противодействия, в стороны противоположные реакциям шарнира С - , стержня АС.

 

Рис. 9 Расчётная схема стержня ВС.

 

Стержень ВС находится в равновесии под действием произвольной плоской системы сил, для которой можно записать три независимых уравнения равновесия.

 

 

 

 

 

Число неизвестных величин с учётом аксиомы о равенстве сил действия и противодействия равно шести (реакции связей ). Число независимых уравнений равновесия для обеих частей конструкции тоже шесть. Задача является статически определимой.

Найдём значения внешних и внутренних реакций связей решив систему составленную из записанных ранее уравнений. Получим:

-1,58кН

8,63кН

15,512кН

-11,88кН

-7,92кН

=-6,85кН

 

Задача 219

Конструкция состоит из стержня ВС и АС, которые соединены невесомым стержнем С (рис.10)

 

Рис. 10

Внешними связями, наложенными на конструкцию, являются жёсткая заделка в точке А и неподвижная шарнирная опора в точке В. Конструкция находится в равновесии под действием пары сил с моментом М и сосредоточенной силы . Исследовать влияние углов и на реакции внутренних и внешних связей, а также найти оптимальные значения этих углов при которых значения реакций минимальны если:

 

 

Для определения реакций связей расчленим конструкцию и рассмотрим равновесие каждой её части отдельно.

Рассмотрим равновесие стержня ВС(рис. 11). Проведём координатные оси xСy и изобразим действующие на стержень силы: пару сил с моментом М и реакции связей. Реакцию неподвижной шарнирной опоры В изображаем двумя её составляющими , а реакцию стержня С направим вертикально вверх.

 

Рис.11 Расчётная схема стержня ВС.

 

Стержень ВС находится в равновесии под действием произвольной плоской системы сил, для которой можно записать три независимых уравнения равновесия.

 

 

 

 

Рассмотрим равновесие стержня АС (рис.12).Проведём координатные оси xАy и изобразим действующие на стержень силы: сосредоточенную силу и реакции связей. Реакцию жёсткой заделки А изобразим моментом М_А и двумя составляющими и , а реакцию стержня С () направим, согласно аксиоме о равенстве сил действия и противодействия, в сторону противоположную реакции стержня С - стержня ВС.

 

Рис. 12 Расчётная схема стержня АС.

 

 

Стержень АС находится в равновесии под действием произвольной плоской системы сил, для которой можно записать три независимых уравнения равновесия.

 

 

Число неизвестных величин с учётом аксиомы о равенстве сил действия и противодействия равно шести (реакции связей ). Число независимых уравнений равновесия для обеих частей конструкции тоже шесть. Задача является статически определимой.

 

Как видно из полученных результатов: реакция зависит только от угла , реакции и только от угла , а реакции и от и , реакция всегда равна 0.

 

Задача 319

Конструкция состоит из двух стержней АС и BD соединенных шарнирно балкой CD (рис.13).

 

Рис.13 Схема конструкции.

 

Внешними связями, наложенными на конструкцию, являются жёсткая заделка в точке А и неподвижная шарнирная опора в точке В. Конструкция находится в равновесии под действием пары сил с моментом М, распределённой нагрузки, действующей на участке СD по линейному закону со средним значением и распределённой нагрузки, действующей на участке АС по линейному закону, максимальное значение интенсивности которой .

Определить и если:

 

 

Для определения требуемых реакций расчленим конструкцию и рассмотрим равновесие каждой её части отдельно.

Рассмотрим равновесие стержня BD(рис.14).Проведём координатные оси xВy и изобразим действующие на стержень силы: пару сил с моментом М и реакции связей. Реакции неподвижной шарнирной опоры В и шарнира D изображаем двумя их составляющими и .

 

Рис. 14 Расчетная схема стержня BD

 

Стержень ВD находится в равновесии под действием произвольной плоской системы сил, для которой можно записать три независимых уравнения равновесия.

 

Рассмотрим равновесие балки СD(рис.15).Проведём координатные оси xСy и изобразим действующие на балку силы: равнодействующую распределённой нагрузки ( =qb) приложенную в точке К DК=0,5b и реакции связей. Реакцию шарнира С изображаем двумя её составляющими а реакции шарнира D (, ) направим, согласно аксиоме о равенстве сил действия и противодействия, в стороны противоположные реакциям шарнира D - , стержня BD.

 

Рис.15 Расчётная схема балки CD.

 

Балка СD находится в равновесии под действием произвольной плоской системы сил, для которой можно записать три независимых уравнения равновесия.

 

В данном случае для нахождения неизвестных реакций достаточно записать два следующих уравнения равновесия:

BD:

 

CD:

 

Получили два уравнения с двумя неизвестными. Решая данную систему, находим:

 

 

Задача 419

Конструкция состоит из двух стержней АС и BС соединенных шарнирно в точке С (рис.16), а также двух блоков радиусов r и R находящихся на стержне AC на расстоянии 2b+a и а соответственно.

 

 

Рис.16 Схема конструкции.

 

Внешними связями, наложенными на конструкцию, являются неподвижные шарнирные опоры в точках А и В. Конструкция находится в равновесии под действием распределённой нагрузки, действующей на участке СK стержня CB по линейному закону, максимальное значение интенсивности которой и груза весом P. Исследовать влияние угла на реакции внутренних и внешних связей, а также найти оптимальные значения угла при котором значения реакций связей минимальны если:

 

 

Для определения реакций связей расчленим конструкцию и рассмотрим равновесие каждой её части отдельно.

Рассмотрим равновесие стержня АС(рис. 17). Проведём координатные оси xАy и изобразим действующие на стержень силы: вес P, реакции нитей равные весу P и реакции связей. Реакцию неподвижной шарнирной опоры A и шарнира С изображаем двумя их составляющими и

 

Рис.17 Расчётная схема стержня АС.

 

Введём дополнительный угол:

 

Стержень АС находится в равновесии под действием произвольной плоской системы сил, для которой можно записать три независимых уравнения равновесия.

 

 

 

 

Рассмотрим равновесие стержня BС (рис.18).Проведём координатные оси xBy и изобразим действующие на стержень силы: реакцию нити равную весу P и приложенную в точке К, равнодействующую распределённой нагрузки ( =0.5q_maxBK) приложенную в точке N BN=2/3*BK и реакции связей. Реакцию неподвижной шарнирной опоры B изображаем двумя её составляющими ,а реакцию шарнира С () направим, согласно аксиоме о равенстве сил действия и противодействия, в сторону противоположную реакции шарнира С - стержня АС.

 

Рис.18 Расчётная схема стержня ВС.

 

Стержень BC находится в равновесии под действием произвольной плоской системы сил, для которой можно записать три независимых уравнения равновесия.

 

 

 

 

Число неизвестных величин с учётом аксиомы о равенстве сил действия и противодействия равно шести (реакции связей ). Число независимых уравнений равновесия для обеих частей конструкции тоже шесть. Задача является статически определимой.

Результаты расчетов

 

Решения систем линейных алгебраических уравнений и не сложно реализовать в пакете Mathcad, в котором для этого существует несколько способов [1, 10]. Так как кроме решения системы линейных алгебраических уравнений, требуется осуществить проверку их составления, воспользуемся возможностями символьных вычислений Mathcad. Численное решение полученных уравнений произведем с помощью блока решения .

Список использованной литературы

 

1. Бать М.И., Джанелидзе Г.Ю., Кельзон А.С. Теоретическая механика в примерах и задачах. Т.1 (Статика и кинематика) – М.: Наука, 1990;

2. Яблонский А.А., Никифорова В.М. Курс теоретической механики. Т.1 – М.: Высшая школа, 1984;

3. Бертяев В.Д. Теоретическая механика на базе Mathcad практикум – СПб.: БХВ – Петербург, 2005.

4. Кирьянов Д.В. Самоучитель Mathcad 12. - СПб.: БХВ – Петербург, 2004.