Проведём исследование графика уравнения (4.7) методом сечения плоскостями.
Рассмотрим линии 
, полученные в сечениях гиперболического параболоида плоскостями Y=h. Эти линии определяются системой уравнений:
Следовательно, уравнения проекций линий на плоскость ZO'X имеют вид:
: 
Рассмотрим три случая:
Если h + 
>0, h > , запишем полученное уравнение в виде:
(4.8)
Уравнение (4.8) задаёт гиперболы с центрами в точках (0, h,0).
Полуоси гипербол:
a = 
- действительная полуось, b = 
- мнимая полуось, увеличиваются с увеличением h. При различных значениях h получим семейство соответствующих гипербол:
h = 1 a= 
; b= 
; 
h=2 a= 
; b= 
; 
h=3 a= 
; b= 
; 
Изобразим данные гиперболы на рисунке:
Если h + =0, h = , запишем полученное уравнение в виде:
или 
Данное уравнение задаёт две пересекающиеся прямые. Изобразим их на рисунке:
Если h + < 0, h< , запишем полученное уравнение в виде:
Данное уравнение задаёт сопряжённые гиперболы с центрами в точке (0, h, 0).
Полуоси гипербол:
a= 
- действительная полуось, b= 
- мнимая полуось, увеличиваются с увеличением | h |.
При различных значениях h получаем семейство соответствующих гипербол:
h=-1 a= 
; b= 
; 
h=-2 a= 
; b= 
; 
h=-3 a= 
; b= 
; 
Изобразим данные гиперболы на рисунке:
Рассмотрим линии 
, полученные в сечениях гиперболического параболоида плоскостями Z=h. Эти линии определяются системой уравнений:
Следовательно, уравнения проекций линий 
на плоскость XO'Y имеют вид:
: 
(4.9)
Уравнение (4.9) задаёт параболы, с вершинами в точках V(0, 
, h) и параметром
p= 
. При различных h получим семейство соответствующих парабол:
h = ±1 : 
h = ±2 : 
h = ±3 : 
Изобразим данные параболы на рисунке:
Рассмотрим линии 
, полученные в сечениях гиперболического параболоида плоскостями X=h. Эти линии определяются системой уравнений:
Следовательно, уравнения проекций линий на плоскость YO'Z имеют вид:
(4.10)
Уравнение (4.10) задаёт параболы, с вершинами в V(h, 
,0) и параметром p= 
. При различных h получаем семейство соответствующих парабол.
h = ±1 : 
h = ±2 : 
h = ±3 : 
Изобразим данные параболы на рисунке:
Графики уравнения поверхности
Изобразим поверхность второго порядка в общеалгебраической и канонической системе координат.
График в общеалгебраической системе координат:
График в канонической системе координат:
Вывод
Исследовав каноническое уравнение (4.7) гиперболического параболоида, отметим следующее:
1. Оси O'Z и O'X являются осями симметрии поверхности. Центра симметрии у поверхности нет.
2. Рассекая поверхность горизонтальными плоскостями Y = h, в сечениях получаем:
h > 
- гиперболы с действительными осями, параллельными оси O'Z
h = - две пересекающиеся прямые
h < - сопряжённые гиперболы с действительными осями, параллельными оси O'Y
3. Рассекая поверхность плоскостями Z = h и X = h, в сечениях получаем параболы, с ветвями, направленными вниз (Z = h) или вверх (X = h).
4. Поверхность гиперболического параболоида бесконечна в направлении всех трёх координатных осей.
Список литературы
1. Копылова Т. В. Аналитическая геометрия. — Дубна: Международный университет природы, общества и человека «Дубна», 1997.
2. Ильин В. А., Позняк Г. Д. Аналитическая геометрия. — М.: Наука, 1974.