Алгоритм проведения занятий гр.1201-1204, 1231,1232, 1215, 1216, 1218, 1219
по разделу «Теорема об изменении кинетической энергии» 22.10.2020
Изучение разделов Лекций
Подключиться к bb.kai.ru
2. Зайти в курс «Теоретическая механика»
3. В меню слева зайти в «Обучающий материал»
4. Зайти в «Лекции»
5. Зайти в «Динамика материальной системы»
6. Зайти в подраздел «Тема 5.4 Теорема об изменении кинетической энергии»
Изучить темы:
1. Элементарная работа силы, мощность. Работа силы на конечном перемещении.
Вычисление работы внешних и внутренних сил.
3. Изучить материал:
РАБОТА СИЛЫ. МОЩНОСТЬ
Для характеристики действия, оказываемого силой на тело при некотором его перемещении, вводится понятие о работе силы, широко используемое не только в механике. Сначала введем понятие об элементарной работе.
Элементарной работой силы 
, приложенной в точке 
(рис. 3.7), называется скалярная величина
(27)
где 
проекция силы на касательную 
к траектории точки , направленную в сторону перемещения этой точки (или проекция на направление скорости 
точки 
); 
модуль элементарного перемещения точки 
Заметим, что здесь 
символ элементарной величины, но не дифференциала. Дифференциалом какой-нибудь функции величина 
может вообще не быть.
 Mo
|
 F
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| Рис. 3.7 |
на составляющие 
то изменять модуль скорости будет 
так как 
(составляющая 
изменяет или направление вектора 
, или при несвободном движении – силу давления на связь).
Замечая, что 
где 
угол между и 
, получим из (27) другое выражение для :
. (28)
Если угол 
-острый, то работа положительна. В частности, при 
элементарная работа 
Если угол 
тупой, то работа отрицательна. В частности, при 
элементарная работа 
Если угол 
т.е. если сила направлена перпендикулярно перемещению, то элементарная работа силы равна нулю.
Знак работы имеет следующий смысл: работа положительна, когда составляющая 
направлена в сторону движения (сила ускоряет движение); работа отрицательна, когда составляющая 
направлена противоположно движению (сила замедляет движение).
Если учесть, что 
где 
вектор элементарного перемещения точки, и воспользоваться известным из векторной алгебры понятием о скалярном произведении двух векторов, то равенство (28) можно представить в виде
(29)
Следовательно, элементарная работа силы равна скалярному произведению силы на вектор элементарного перемещения точки ее приложения.
Если в формуле (29) выразить скалярное произведение через проекции векторов 
на координатные оси и учесть, что 
то получим
аналитическое выражение элементарной работы
, (30)
в котором 
координаты точки приложения силы 
Работа силы на любом конечном перемещении 
(рис. 3.7) вычисляется как предел интегральной суммы соответствующих элементарных работ
(31)
или
(32)
Следовательно, работа силы на любом перемещении равна взятому вдоль этого перемещения интегралу от элементарной работы.
Пределы интеграла соответствуют значениям переменных интегрирования в точках 
(точнее говоря, интеграл берется вдоль кривой , т.е. является криволинейным).
Если величина 
постоянна, то из (31), обозначая через 
, получим
.
В частности, такой случай может иметь место, когда действующая сила постоянна по модулю и направлению, а точка приложения силы движется прямолинейно. В этом случае 
и
.
Единицей измерения работы в системе СИ является джоуль: 1 Дж=1Н·м=1 кг·м2/с2.
Г р а ф и ч е с к и й с п о с о б в ы ч и с л е н и я р а б о т ы. Если сила зависит от расстояния 
и известен график зависимости 
(рис. 3.8), то работу силы можно вычислить графически.
|
|
|
|
|
|
| Рис. 3.8 |
точка находится от начала отсчета на расстоянии 
, а в положении 
на расстоянии 
Тогда по формуле (31), учитывая геометрический смысл интеграла, получим
,
где 
-величина заштрихованной на рис. 3.8 площади, умноженной на соответствующий масштабный коэффициент.
М о щ н о с т ь. Мощностью называется величина, определяющая работу, совершаемую силой в единицу времени. Если работа совершается равномерно, то мощность 
, где 
-время, в течение которого произведена работа 
В общем случае
(33)
Следовательно, мощность равна произведению касательной составляющей силы на скорость.
Единицей измерения мощности в системе СИ является ватт (1 Вт=1 Дж/c). В технике за единицу мощности часто принимают 1 л.с., равная 736 Вт. Работу, произведенную машиной, можно измерять произведением ее мощности на время работы. Отсюда возникла употребительная в технике единица измерения работы киловатт·час (1 кВт·ч=3,6·106 Дж).
Из равенства 
видно, что у двигателя, имеющего данную мощность 
, сила тяги 
будет тем больше, чем меньше скорость 
. Поэтому, например, на подъеме или на плохом участке дороги у автомобиля включают низшие передачи, позволяющие при полной мощности двигаться с меньшей скоростью и развивать большую силу тяги.
ПРИМЕРЫВЫЧИСЛЕНИЯ РАБОТЫ
Рассмотренные ниже примеры дают результаты, которыми можно непосредственно пользоваться при решении задач.
Р а б о т а с и л ы т я ж е с т и. Пусть точка , на которую действует сила тяжести 
перемещается из положения 
в положение 
. Выберем координатные оси так, чтобы ось 
была направлена вертикально вверх (рис. 3.9). Тогда 
Подставляя эти значения в формулу (32), получим, учитывая, что переменным интегрирования является 
Если точка выше , то 
где 
вертикальное перемещение точки; если же точка 
ниже точки , то 
.
Окончательно получаем
. (34)
| z |
| x |
| y |
| M0 |
| M1 |
| M |
| h |
|
| z0 |
| z1 |
| y0 |
| x0 |
| x1 |
| y1 |
| Рис. 3.9 |
Следовательно, работа силы тяжести равна взятому со знаком плюс или минус произведению модуля силы на вертикальное перемещение точки ее приложения.
Работа положительна, если начальная точка выше конечной, и отрицательна, если начальная точка ниже конечной.
Из полученного результата следует, что работа силы тяжести не зависит от вида той траектории, по которой перемещается точка ее приложения. Силы, обладающие таким свойством, называются потенциальными.
Р а б о т а с и л ы у п р у г о с т и. Рассмотрим груз , лежащий на горизонтальной плоскости и прикрепленный к свободному концу некоторой пружины (рис. 3.10-а).
| x |
|
| M |
| A |
| l 0 |
| l |
| a) |
| λ |
| б) |
| x |
| F |
| M0 |
| M1 |
| x0 |
| x1 |
| cx1 |
| cx0 |
| Рис. 3.10 |
| σ |
На плоскости отметим точкой 
положение, занимаемое концом пружины, когда она не напряжена 
- длина ненапряженной пружины), и примем эту точку за начало координат. Если теперь оттянуть груз от равновесного положения, растянув пружину до величины 
, то пружина получит удлинение 
и на груз будет действовать сила упругости , направленная к точке 
Так как в нашем случае 
то по формуле (6) получим
и 
Последнее равенство справедливо и при 
, груз левее точки ; тогда сила направлена вправо и получится, как и должно быть, 
Найдем работу, совершаемую силой упругости при перемещении груза из положения 
в положение 
Так как в данном случае 
то, подставляя эти значения в формулу (32), найдем
Этот же результат можно получить по графику зависимости 
(рис. 3.10-б), вычисляя площадь 
заштрихованной на чертеже трапеции и учитывая знак работы. В полученной формуле 
представляет собой начальное удлинение пружины 
а 
- конечное удлинение пружины 
. Следовательно
(35)
т.е. работа силы упругости равна половине произведения коэффициента жесткости на разность квадратов начального и конечного удлинений (или сжатий) пружины.
Работа будет положительной, когда 
, т.е. когда конец пружины перемещается к равновесному положению, и отрицательной, когда 
т.е. когда конец пружины удаляется от равновесного положения.
Можно доказать, что формула (35) остается справедливой и в случае, когда перемещение точки не является прямолинейным. Таким образом, оказывается, что работа силы зависит только от значений 
и не зависит от вида траектории точки 
Следовательно, сила упругости также является потенциальной.
Р а б о т а с и л ы т р е н и я. Рассмотрим точку, движущуюся по какой-либо шероховатой поверхности (рис. 3.11) или кривой. Действующая на точку сила трения равна по модулю 
, где 
коэффициент трения, а - нормальная реакция поверхности. Направлена сила трения противоположно перемещению точки. Следовательно, Fтрτ=-Fтр=-fN и по формуле (31)
|
|
| М0 |
| М |
| М1 |
| ds |
|
|
| Рис. 3.11 |
Если численно сила трения постоянна, то 
где 
длина дуги кривой 
, по которой перемещается точка.
Таким образом, работа силы трения при скольжении всегда отрицательна. Так как работа зависит от длины дуги , то, следовательно, сила трения является непотенциальной.
Р а б о т а с и л ы т я г о т е н и я в ц е н т р а л ь н о м п о л е. Если Землю (планету) рассматривать как однородный шар (или шар, состоящий из однородных концентрических
| O |
|
| M0 |
| M1 |
|
| M |
|
|
| Рис. 3.12 |
|
с массой 
находящуюся вне шара на расстоянии 
от его центра (или находящуюся на поверхности шара), будет действовать сила тяготения , направленная к центру (рис. 3.12), значение которой определяется формулой (5). Представим эту формулу в виде 
и определим коэффициент 
из условия, что, когда точка находится на поверхности Земли 
где 
радиус Земли, сила притяжения равна 
где 
ускорение силы тяжести (точнее силы тяготения) на земной поверхности. Тогда должно быть
и 
.
Подсчитаем сначала элементарную работу силы . Как видно из рисунка, элементарное перемещение 
точки можно разложить на перемещение 
, численно равное приращению 
расстояния 
и направленное вдоль 
, и на перемещение 
перпендикулярное , а следовательно, и силе 
Поскольку на этом втором перемещении работа силы равна нулю, а перемещение 
направлено противоположно силе, то
. (36)
Допустим теперь, что точка перемещается из положения 
где 
, в положение 
, где 
. Тогда
или окончательно
(37)
Работа будет положительной, если 
, т.е. когда конечное положение точки ближе к земной поверхности, чем начальное, и отрицательное, если 
. От вида траектории точки работа силы тяготения, как видно из формулы (37), не зависит. Следовательно, сила тяготения является потенциальной.