Тема 1. Элементы теории множеств и математической логики.

Вопросы программы:

1. Понятие множества; операции над множествами; числовые множества; комплексные числа; бинарные отношения; функции.

С. 4-11 [1]; с. 39-46, 48-50 [10].

2. Понятие высказывания; операции над высказываниями; простые и составные высказывания; формулы логики высказываний и их виды; равносильные формулы логики высказываний; логическое следствие; методы логики высказываний при решении текстовых задач (правильные и неправильные рассуждения, «логические задачи»).

С. 18-25 [1]; с. 5-27 [10].

Задание 1. Выполнить действия над комплексными числами:

а) вычислить ;

б) вычислить ;

в) найти все значения корня .

Решение: а) комплексным числом z называется упорядоченная пара (x;y), где x,y ∈ℝ, т.е. z=(x;y). Комплексное число (0;1) называется мнимой единицей и обозначается i, т.е. i=(0;1). Всякое комплексное число z=(x;y) можно записать в виде z=x+iy, который называется алгебраической формой комплексного числа z. Число =x-iy называется сопряженным числу z=x+iy.

Сложение, вычитание и умножение комплексных чисел, заданных в алгебраической форме, выполняются по правилам сложения, вычитания и умножения соответственно двучленов вида x+iy с учетом того, что i ²=-1. Деление выполняется по формуле , z₂≠0. Таким образом, умножая числитель и знаменатель дроби (4+7i), получим

= .

б) Тригонометрическая форма комплексного числа z=x+iy имеет вид z=r(cosφ+isinφ), где r= - модуль комплексного числа z, а величина угла φ называется аргументом комплексного числа z и определяется из системы , -π<φ≤π.

Возведение в степень и извлечение корня n –й степени (n - положительное число) осуществляется по формулам

(формула Муавра),

, k=0,1,…,n-1.

Из последней формулы видно, что выражение при z≠0 имеет n различных значений.

Найдем модуль и аргумент числа z= : r= ; из системы следует . Представим z в тригонометрической форме: z= =2(cos +isin ). Применив формулу Муавра, получим:

.

в) Найдем модуль и аргумент числа z= : r= ; . Запишем z = в тригонометрической форме: z= = (cos +isin ). Тогда , k=0,1,2. Следовательно, ,

,

.

Задание 2. Установить вид формулы α логики высказываний:

Решение: формула α логики высказываний называется тождественно истинной (тождественно ложной), если она принимает значение И (значение Л) при любых значениях входящих в нее переменных высказываний. Формула α логики высказываний называется выполнимой, если найдется хотя бы один набор значений переменных высказываний, входящих в формулу, при котором формула принимает значение И. Таким образом, решение задачи сводится к нахождению всех истинностных значений формулы α.

Найдем все истинностные значения формулы α с помощью таблицы истинности. Для этого занесем сначала в таблицу переменные высказывания А, В и С и заполним столбцы, им соответствующие, так, чтобы таблица содержала все возможные наборы значений А, В и С. Отметим, что если формула содержит n переменных высказываний, то таблица истинности для нее содержит 2ⁿ строк. В частности, при n=3 таблица содержит 8 строк, причем переменным высказываниям удобно придавать значения следующим образом: первому из них (А) – четыре значения И и четыре значения Л; второму (В) – два значения И, два значения Л, два И, два Л; третьему (С) – значения И и Л, чередуя.

Для того, чтобы получить формулу α, необходимо выполнить следующие операции: 1) отрицание В, т.е. ;

2) дизъюнкцию А и , т.е. ;

3) отрицание А, т.е. ;

4) импликацию и , т.е. ;

5) отрицание С, т.е. ;

6) конъюнкцию А и , т.е. ;

7) эквиваленцию и , т.е. ;

8) отрицание , т.е. .

Следовательно, таблица должна содержать еще 8 столбцов, в которые занесем формулы , , , , , , , и заполним таблицу, используя определения логических операций. Отметим, что при заполнении таблицы удобно пользоваться следующими таблицами истинности для логических операций:

[ A ]	[ ]
И Л	Л И

Итак, таблица истинности для формулы α имеет вид:

[ А ]	[ В ]	[ С ]	[ ]	[ ]=[ X ]	[ ]	[ ] =[ Y ]	[ ]	[ ]=[ Z ]	[ ]=[ F ]	[ ]=[ α ]
И И И И Л Л Л Л	И И Л Л И И Л Л	И Л И Л И Л И Л	Л Л И И Л Л И И	И И И И Л Л И И	Л Л Л Л И И И И	Л Л Л Л И И И И	Л И Л И Л И Л И	Л И Л И Л Л Л Л	И Л И Л Л Л Л Л	Л И Л И И И И И

Последний столбец содержит все истинностные значения формулы α. Формула α является выполнимой, поскольку, например, при [ А ]=И, [ В ]=И, [ С ]=Л (вторая строка) формула α принимает значение И. Формула α не является тождественно истинной, поскольку при [ А ]=И, [ В ]=И, [ С ]=И (первая строка) формула α принимает значение Л. Следовательно, α – выполнимая формула логики высказываний.