Логарифмический критерий устойчивости




Логарифмические критерии, так же как и критерий Найквиста, позволяют судить об устойчивости замкнутой системы по виду ЛАХ и ЛФХ разомкнутой системы.

Формулировка логарифмического критерия. Если разомкнутая система устойчива, то для устойчивости системы в замкнутом состоянии, ЛАХ разомкнутой системы должна пересечь ось абсцисс раньше, чем ЛФХ, спадая окончательно, перейдёт через значение –π (рис.1). То есть, на частоте среза ω ср величина фазы φ должна быть меньше значения | –π |.

Если система в разомкнутом состоянии не устойчива, то для устойчивости системы в замкнутом состоянии необходимо чтобы при положительной ЛАХ разомкнутой системы число пересечений ЛФХ уровня –π снизу-вверх должно быть на m/ 2 раз больше числа пересечений уровня –π в обратном направлении. Число m определяется количеством корней с положительной вещественной частью при решении характеристического уравнения разомкнутой системы.

Запас устойчивости по амплитуде Δ L – это величина допустимого увеличения общего коэффициента усиления разомкнутой системы, при котором замкнутая система окажется на границе устойчивости.

Запас устойчивости по фазе Δφ– это величина допустимого увеличения запаздывания по фазе разомкнутой системы на частоте среза ω ср, при котором замкнутая система окажется на границе устойчивости.

 

lg ω
ω0
ω ср
Δ L
lg ω
Δφ
L, дБ

 

 

 

φ, рад

 

 

– π

 

Рис. 1. Определение запасов устойчивости по частотным характеристикам:

– устойчивая система, – система на границе устойчивости,

– неустойчивая система

Для построения ЛАХ и ЛФХ системы необходимо разложить передаточную функцию разомкнутой системы на элементарные звенья, амплитуды А (w) и фазы φ(w). Допускается использовать асимптотические ЛАХ, которые графически представляют собой ломаные прямые линии (см. табл. 2).

 

Таблица 2

 

Асимптотические логарифмические частотные характеристики типовых динамических звеньев

W (p) = (Tp + 1) W (p) = 1 (Tp + 1) W (p) = k (Tp + 1)

Затем на плоскости строятся ЛАХ и ЛФХ каждого отдельного звена и методом графического суммирования находятся результирующие ЛАХ и ЛФХ разомкнутой системы (рис. 3):

LРАЗ (w) = L 1(w) + L 2 (w) + L 3(w); (1)

j РАЗ (w) = j1(w) + j2(w) + j3 (w). (2) Запас устойчивости по фазе и амплитуде определяется по ЛАХ и

ЛФХ, а так же по АФЧХ, когда используется критерий Найквиста.

На АФЧХ запас устойчивости по амплитуде Δ A определяется расстоянием от точки пересечения АФЧХ с осью действительных значений U (ω) до точки с координатами (–1; j 0) (рис. 4).

Запас устойчивости по фазе Δφ определяется как угол между осью действительных значений U (ω) и вектор-радиусом, проведенным через точку пересечения АФЧХ и окружностью радиусом 1.

 

 

 
 

 

Рис. 3. Графическое нахождение результирующих логарифмических частотных характеристик

 

jV (w)
Δ А
-1
 
Δφ
U (w)
ω

 

Рис. 4. Определение запасов устойчивости

по амплитудно-фазовой частотной характеристике

 

Таким образом, представленные критерии позволяют проводить анализ устойчивости линейных систем. Устойчивость АСР является необходимым, но не достаточным условием практической пригодности системы.

При проектировании АСР рекомендуется обеспечить следующие


запасы устойчивости:


D L ³ 6 дБ и
Dj ³ 30°.

Одним из важнейших


Литература

1.Бесекерский В.А., Попов Е.П. Теория систем автоматического регулирования. -

М.: Наука, 1975. - 768 с.

2.Дорф Р., Бишоп Р. Современные системы управления. - М.: Лаборатория базовых знаний, 2000. - 832 с.

3.Ерофеев А.А. Теория автоматического управления. - СПб.: Политехника, 1998. - 295 с.

Методы классической и современной теории автоматического управления: Учеб. в 3-х т. T. 1. Анализ и статистическая динамика систем автоматического управления / Под ред. Н.Д. Егупова. - М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2000.- 748 с.

 



Поделиться:




Поиск по сайту

©2015-2024 poisk-ru.ru
Все права принадлежать их авторам. Данный сайт не претендует на авторства, а предоставляет бесплатное использование.
Дата создания страницы: 2019-04-30 Нарушение авторских прав и Нарушение персональных данных


Поиск по сайту: