В качестве примера построим переходный процесс для системы уравнений:
.
Эта система может быть представлена дифференциальным уравнением второго порядка относительно переменной 
:
,
или относительно переменной 
:
.
Характеристическое уравнение 
имеет два комплексных корня: 
. Общее решение этих уравнений будет:
,
где 
– постоянные, которые вычисляются по заданным начальным условиям путем решения системы уравнений:
Несложные преобразования приводят к следующим точным решениям этого уравнения для двух различных наборов начальных условий:
Получим такое же аналитическое решение векторного переходного процесса в форме экспоненциальной функции, используя спектральное разложение матрицы по собственным значениям.
Характеристический полином заданной матрицы имеет вид:
.
Собственные значения матрицы (корни характеристического уравнения) и собственные векторы равны:
Проекторы находим матричным произведением левых и правых собственных векторов. Для этого обратим матрицу 
и в качестве левых собственных векторов возьмем ее строки:
Векторное аналитическое решение имеет вид:
Решение совпадает с точным решением уравнений второго порядка.
Для численного построения векторного переходного процесса по заданному векторно-матричному уравнению с использованием Падэ-аппроксимации матричной экспоненты дробно-рациональными выражениями первого, второго и третьего порядков, вычислим сначала эти аппроксимирующие матрицы:
Вектор приближенного решения вычислим по рекуррентной формуле, в которую, для демонстрации влияния на точность результата, поочередно подставим каждое из трех приведенных выше приближений к матричной экспоненте:
:
…
В таблице помещены численные значения переходных процессов, полученные для трех названных случаев аппроксимации матричной экспоненты вместе с точным аналитическим решением.
| t | Аналитическое
решение
| Аппроксимация
Падэ порядка 1
| Аппроксимация
Падэ порядка 2
| Аппроксимация
Падэ порядка 3
| ||||
| 0.1 | 1.066 | 0.3475 | 1.0670 | 0.3483 | 1.0660 | 0.3475 | 1.066 | 0.3475 |
| 0.2 | 1.072 | -0.2023 | 1.0740 | -0.2018 | 1.0720 | -0.2023 | 1.072 | -0.2023 |
| 0.3 | 1.029 | -0.6434 | 1.0320 | -0.6440 | 1.0290 | -0.6434 | 1.029 | -0.6434 |
| 0.4 | 0.9478 | -0.9755 | 0.9513 | -0.9778 | 0.9478 | -0.9755 | 0.9478 | -0.9755 |
| 0.5 | 0.8380 | -1.203 | 0.8420 | -1.207 | 0.8380 | -1.203 | 0.8380 | -1.203 |
| 0.6 | 0.7103 | -1.335 | 0.7145 | -1.341 | 0.7102 | -1.335 | 0.7102 | -1.335 |
| 0.7 | 0.5737 | -1.383 | 0.5779 | -1.391 | 0.5737 | -1.383 | 0.5737 | -1.383 |
| 0.8 | 0.4360 | -1.360 | 0.4398 | -1.369 | 0.4360 | -1.360 | 0.4360 | -1.360 |
| 0.9 | 0.3035 | -1.280 | 0.3068 | -1.290 | 0.3035 | -1.280 | 0.3035 | -1.280 |
| 1.0 | 0.1814 | -1.156 | 0.1839 | -1.167 | 0.1814 | -1.156 | 0.1814 | -1.156 |
Из сопоставления результатов можно сделать заключение, что аппроксимация экспоненты дробно-рациональной матричной функцией второго порядка позволяет при прочих равных условиях получать решение с 5–6-ю достоверными десятичными знаками.
Численное решение неоднородного дифференциального уравнения в векторно-матричном представлении проведем с прежней однородной частью в уравнении, но применим рекуррентные формулы с интегрированием по методу прямоугольников, трапеций и парабол:
.
Матричная экспонента для рекуррентных формул в данном примере бралась в абсолютно точном аналитическом представлении, полученном для этой матрицы выше (числовое представление для h= 0.1):
.
Аналитическое решение в векторно-матричной форме записи имеет следующий вид:
.
В таблице приведены результаты вычисления переходных процессов для векторно-матричного неоднородного дифференциального уравнения по формуле аналитического решения и трем рекуррентным выражениям, использующим различные квадратурные формулы интегрирования. Для заполнения таблицы с шагом 0.1 по третьей рекуррентной формуле второе значение (для t=0.1) было получено вычислением с шагом 0.05. Эти первые два значения использовались в качестве начальных значений двух рекуррентных процессов, вычислявших очередные значения с шагом 0.2.
| t | Точное решение
| Интегрирование по формуле прямоугольников | Интегрирование по формуле трапеций | Интегрирование по формуле парабол | ||||
| 0.1 | 1.16576 | 0.328872 | 1.16422 | 0.302569 | 1.16514 | 0.330031 | 1.16576 | 0.328872 |
| 0.2 | 1.26681 | -0.271328 | 1.26234 | -0.318851 | 1.26567 | -0.269062 | 1.26680 | -0.271346 |
| 0.3 | 1.31004 | -0.785828 | 1.30176 | -0.849621 | 1.30849 | -0.782554 | 1.31125 | -0.802579 |
| 0.4 | 1.30354 | -1.20604 | 1.29100 | -1.28147 | 1.30167 | -1.20189 | 1.30354 | -1.20605 |
| 0.5 | 1.25599 | -1.52886 | 1.23917 | -1.61178 | 1.25389 | -1.52399 | 1.25944 | -1.55740 |
| 0.6 | 1.17619 | -1.75579 | 1.15542 | -1.84257 | 1.17395 | -1.75039 | 1.17618 | -1.75580 |
| 0.7 | 1.07265 | -1.89209 | 1.04854 | -1.97973 | 1.07033 | -1.88633 | 1.07991 | -1.92961 |
| 0.8 | 0.953246 | -1.94585 | 0.926640 | -2.03193 | 0.950907 | -1.93991 | 0.953243 | -1.94586 |
| 0.9 | 0.825009 | -1.92713 | 0.796891 | -2.00986 | 0.822699 | -1.92120 | 0.837584 | -1.97248 |
| 1.0 | 0.693974 | -1.84722 | 0.665412 | -1.92534 | 0.691726 | -1.84145 | 0.693977 | -1.84722 |
Аналогичные формулы построения вычислительных процедур могут быть выведены для уравнений с переменными коэффициентами и нелинейных уравнений. Однако обеспечение устойчивости и точности построения переходных процессов в таких случаях решается для каждой конкретной задачи отдельно.
Литература
1. Бахвалов И.В. Численные методы. БИНОМ, 2008. – 636c.
2. Измаилов А.Ф., Солодов М.В. Численные методы оптимизации. Издательство: ФИЗМАТЛИТ, 2003. – 304c.
3. Куликовский А.Г., Погорелов Н.В., Семенов А.Ю. Математические вопросы численного решения гиперболических систем уравнений. – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2001. – 608 с.
4. Мудров А.Е. Численные методы для ПЭВМ на языках Паскаль, Фортран и Бейсик. МП «Раско», Томск, 1991.
5. Пантелеев А.В., Киреев В.И., Пантелеев В.И., Киреев А.В. Численные методы в примерах и задачах. М: Высшая школа, 2004. – 480c.
6. Шевцов Г.С., Крюкова О.Г., Мызникова Б.И. Численные методы линейной алгебры. Учебное пособие. Издательство: ИНФРА-М, 2008.