Обобщенно-гармонические ряды

ЛЕКЦИЯ 4

ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ, СХОДИМОСТЬ И СУММА РЯДА

4.1. Числовые ряды

Определение 4.1. Пусть задана числовая последовательность . Числовым рядом (или просто рядом) называется выражение вида , (4.1)

в котором элементы a ₁, a ₂, a ₃,..., a_n,... – члены ряда, представляют собой действительные числа соответствующей числовой последовательности , где – общий член ряда.

Многоточие, которое поставлено в конце выражения (4.1) указывает на то, что ряд содержит бесконечное число членов.

4.2. Сходимость ряда

Определение 4.2. Пусть дан ряд (4.1). Частичной суммой ряда называется сумма первых членов ряда: , где Образуем последовательность частичных сумм ряда, полагая: , .

Определение 4.3.

Если существует конечный предел последовательности частичных сумм ряда (4.1), то говорят, что ряд (4.1) сходится, а число называется его суммой. Если же предела последовательности не существует или он равен бесконечности, то ряд (4.1) называется расходящимся.

Если ряд (4.1) сходится и имеет сумму S, то пишут

S = a ₁ + a ₂ + a ₃ +...или .

Если же ряд (4.1) расходится, то ему не приписывают никакого числового значения.

4.3. Необходимое условие сходимости ряда

Теорема 4.1. Общий член сходящегося ряда при возрастании своего номера стремится к нулю, т.е. если ряд (4.1) сходится, то .

Доказательство. Из сходимости ряда (4.1) следует, что , а также . Тогда из определения частичных сумм ряда: , следует, что , что и требовалось.

Итак: для того, чтобы ряд сходился, необходимо, чтобы его общий член стремился к нулю; но этого еще – не достаточно для сходимости ряда. Если общий член ряда стремится к нулю, то ряд может, как сходиться, так и расходиться. Но если предел общего члена ряда не равен нулю, то ряд расходится. В случаях, когда общий член ряда стремится к нулю, для ответа на вопрос о сходимости ряда нужно использовать другие признаки.

4.4. Примеры числовых рядов

Пример 4.1. Рассмотрим ряд, состоящий из одних нулей: 0+0+0+….

Общий член этого ряда , предел общего члена ряда равен нулю. Частичной суммой ряда: , предел последовательности частичных сумм: . Следовательно, ряд сходится и сумма его равна нулю.

Пример 4.2. Рассмотрим ряд, состоящий из одних: 1+1+1+….

Общий член ряда . Не выполняется необходимое условие сходимости ряда. Следовательно, ряд расходится.

Пример 4.3. Рассмотрим ряд = –1+1–1+1–1+…...

Общий член ряда принимает значение a_n= –1, если n – нечетное и a_n=1, если n – четное. Тогда частичные суммы ряда: S_n = –1, если n - нечетное, и S_n = 0, если n - число четное. Следовательно, не существует предел последовательности , значит, ряд расходится.

Пример 4.4. Рассмотрим ряд , который называется гармоническим рядом, который расходится, а необходимое условие сходимости выполняется: .

Пример 4.5. Рассмотрим ряд . Общий член ряда . Тогда частичную сумму можно представить в виде: . Раскрывая скобки, видно, что, начиная во второго все слагаемые, кроме первого и последнего уничтожаются. Получаем: . Следовательно, . Получили: ряд сходится и сумма равна 1.