подстановкой 
приводится к "неполному" виду
, 
, 
. (14)
Корни 
, 
, 
"неполного" кубичного уравнения (14) равны
, 
,
где
, 
,
.
Пусть "неполное" кубичное уравнение (14) действительно.
а) Если 
("неприводимый" случай), то 
и
,
,
где
.
(b) Если 
, 
, то
, 
,
где
, 
.
(с) Если , 
, то
, 
,
где
, 
.
Во всех случаях берется действительное значение кубичного корня.
Биквадратное уравнение
Алгебраическое уравнение четвертой степени.
,
где a, b, c – некоторые действительные числа, называется биквадратным уравнением. Заменой 
уравнение сводится к квадратному уравнению 
с последующим решением двух двучленных уравнений 
и 
( и - корни соответствующего квадратного уравнения).
Если 
и 
, то биквадратное уравнение имеет четыре действительных корня:
, 
.
Если , 
[3]), то биквадратное уравнение имеет два действительных корня 
и мнимых сопряженных корня:
.
Если 
и , то биквадратное уравнение имеет четыре чисто мнимых попарно сопряженных корня:
, .
Уравнения четвертой степени
Метод решения уравнений четвертой степени нашел в XVI в. Лудовико Феррари, ученик Джероламо Кардано. Он так и называется – метод Феррари.
Как и при решении кубического и квадратного уравнений, в уравнении четвертой степени
можно избавиться от члена 
подстановкой 
. Поэтому будем считать, что коэффициент при кубе неизвестного равен нулю:
.
Идея Феррари состояла в том, чтобы представить уравнение в виде 
, где левая часть – квадрат выражения 
, а правая часть – квадрат линейного уравнения 
от 
, коэффициенты которого зависят от 
. После этого останется решить два квадратных уравнения: 
и 
. Конечно, такое представление возможно только при специальном выборе параметра . Удобно взять в виде 
, тогда уравнение перепишется так:
. (15)
Правая часть этого уравнения – квадратный трехчлен от 
. Полным квадратом он будет тогда, когда его дискриминант равен нулю, т.е.
, или
.
Это уравнение называется резольвентным (т.е. "разрешающим"). Относительно 
оно кубическое, и формула Кардано позволяет найти какой-нибудь его корень 
. При 
правая часть уравнения (15) принимает вид
,
а само уравнение сводится к двум квадратным:
.
Их корни и дают все решения исходного уравнения.
Решим для примера уравнение
.
Здесь удобнее будет воспользоваться не готовыми формулами, а самой идеей решения. Перепишем уравнение в виде
и добавим к обеим частям выражение 
, чтобы в левой части образовался полный квадрат:
.
Теперь приравняем к нулю дискриминант правой части уравнения:
,
или, после упрощения,
.
Один из корней полученного уравнения можно угадать, перебрав делители свободного члена: 
. После подстановки этого значения получим уравнение
,
откуда 
. Корни образовавшихся квадратных уравнений - 
и 
. Разумеется, в общем случае могут получиться и комплексные корни.
Решение Декарта-Эйлера
подстановкой 
приводится к "неполному" виду
. (16)
Корни , 
, 
, 
"неполного" уравнения четвертой степени (16) равны одному из выражений
,
в которых сочетания знаков выбираются так, чтобы удовлетворялось условие
,
причем 
, 
и 
- корни кубичного уравнения
.