Министерство общего и профессионального образования РФ
Муниципальное образовательное учреждение
Гимназия № 12
Сочинение
На тему: Уравнения и способы их решения
Выполнил: ученик 10 "А" класса
Крутько Евгений
Проверила: учитель математики Исхакова Гульсум Акрамовна
Тюмень 2001
Содержание
План................................................................................................................................... 1
Введение........................................................................................................................... 2
Основная часть................................................................................................................. 3
Заключение..................................................................................................................... 25
Приложение................................................................................................................... 26
Список использованной литературы.......................................................................... 29
План.
Введение.
Историческая справка.
Уравнения. Алгебраически уравнения.
а) Основные определения.
б) Линейное уравненение и способ его решения.
в) Квадратные уравнения и способы его решения.
г) Двучленные уравнения способ их решения.
д) Кубические уравнения и способы его решения.
е) Биквадратное уравнение и способ его решения.
ё) Уравнения четвертой степени и способы его решения.
ж) Уравнения высоких степеней и способы из решения.
з) Рациональноное алгебраическое уравнение и способ его
решения.
и) Иррациональные уравнения и способы его решения.
к) Уравнения, содержащие неизвестное под знаком.
абсолютной величины и способ его решения.
Трансцендентные уравнения.
а) Показательные уравнения и способ их решения.
б) Логарифмические уравнения и способ их решения.
Введение
Математическое образование, получаемое в общеобразовательной школе, является важнейшим компонентом общего образования и общей культуры современного человека. Практически все, что окружает современного человека – это все так или иначе связано с математикой. А последние достижения в физике, технике и информационных технологиях не оставляют никакого сомнения, что и в будущем положение вещей останется прежним. Поэтому решение многих практических задач сводится к решению различных видов уравнений, которые необходимо научиться решать.
Данная работа является попыткой обобщить и систематизировать изученный материал по выше указанной теме. Я расположил материал по степени его сложности, начиная с самого простого. В него вошли как известные нам виды уравнений из школьного курс алгебры, так и дополнительный материал. При этом я попытался показать виды уравнений, которые не изучаются в школьном курсе, но знание которых может понадобиться при поступлении в высшее учебное заведение. В своей работе при решении уравнений я не стал ограничиваться только действительным решением, но и указал комплексное, так как считаю, что иначе уравнение просто недорешено. Ведь если в уравнении нет действительных корней, то это еще не значит, что оно не имеет решений. К сожалению, из-за нехватки времени я не смог изложить весь имеющийся у меня материал, но даже по тому материалу, который здесь изложен, может возникнуть множество вопросов. Я надеюсь, что моих знаний хватит для того, чтобы дать ответ на большинство вопросов. Итак, я приступаю к изложению материала.
Математика... выявляет порядок,
симметрию и определенность,
а это – важнейшие виды прекрасного.
Аристотель.
Историческая справка
В те далекие времена, когда мудрецы впервые стали задумываться о равенствах содержащих неизвестные величины, наверное, еще не было ни монет, ни кошельков. Но зато были кучи, а также горшки, корзины, которые прекрасно подходили на роль тайников-хранилищ, вмещающих неизвестное количество предметов. "Ищется куча, которая вместе с двумя третями ее, половиной и одной седьмой составляет 37...", - поучал во II тысячелетии до новой эры египетский писец Ахмес. В древних математических задачах Междуречья, Индии, Китая, Греции неизвестные величины выражали число павлинов в саду, количество быков в стаде, совокупность вещей, учитываемых при разделе имущества. Хорошо обученные науке счета писцы, чиновники и посвященные в тайные знания жрецы довольно успешно справлялись с такими задачами.
Дошедшие до нас источники свидетельствуют, что древние ученые владели какими-то общими приемами решения задач с неизвестными величинами. Однако ни в одном папирусе, ни в одной глиняной табличке не дано описания этих приемов. Авторы лишь изредка снабжали свои числовые выкладки скупыми комментариями типа: "Смотри!", "Делай так!", "Ты правильно нашел". В этом смысле исключением является "Арифметика" греческого математика Диофанта Александрийского (III в.) – собрание задач на составление уравнений с систематическим изложением их решений.
Однако первым руководством по решению задач, получившим широкую известность, стал труд багдадского ученого IX в. Мухаммеда бен Мусы аль-Хорезми. Слово "аль-джебр" из арабского названия этого трактата – "Китаб аль-джебер валь-мукабала" ("Книга о восстановлении и противопоставлении") – со временем превратилось в хорошо знакомое всем слово "алгебра", а само сочинение аль-Хорезми послужило отправной точкой в становлении науки о решении уравнений.
уравнения. Алгебраические уравнения
Основные определения
В алгебре рассматриваются два вида равенств – тождества и уравнения.
Тождество – это равенство, которое выполняется при всех (допустимых) значениях входящих в него букв [1]). Для записи тождества наряду со знаком также используется знак .
Уравнение – это равенство, которое выполняется лишь при некоторых значениях входящих в него букв. Буквы, входящие в уравнение, по условию задачи могут быть неравноправны: одни могут принимать все свои допустимые значения (их называют параметрами или коэффициентами уравнения и обычно обозначают первыми буквами латинского алфавита: , , ... – или теми же буквами, снабженными индексами: , ,... или , ,...); другие, значения которых требуется отыскать, называют неизвестными (их обычно обозначают последними буквами латинского алфавита: , , ,... – или теми же буквами, снабженными индексами: , ,... или , ,...).
В общем виде уравнение может быть записано так:
(, ,..., ) .
В зависимости от числа неизвестных уравнение называют уравнением с одним, двумя и т. д. неизвестными.
Значение неизвестных, обращающие уравнение в тождество, называют решениями уравнения.
Решить уравнение – это значит найти множество его решений или доказать, что решений нет. В зависимости от вида уравнения множество решений уравнения может быть бесконечным, конечным и пустым.
Если все решения уравнения являются решениями уравнения , то говорят, что уравнение есть следствие уравнения , и пишут
.
Два уравнения
и
называют эквивалентными, если каждое из них является следствие другого, и пишут
.
Таким образом, два уравнения считаются эквивалентными, если множество решений этих уравнений совпадают.
Уравнение считают эквивалентным двум (или нескольким) уравнениям , , если множество решений уравнения совпадает с объединением множеств решений уравнений , .
Н е к о т о р ы е э к в и в а л е н т н ы е у р а в н е н и я:
Уравнение эквивалентно уравнению , рассматриваемому на множестве допустимых значений искходного уравнения.
Уравнение эквивалентно уравнению , рассматриваемому на множестве допустимых значений искходного уравнения.
эквивалентно двум уравнениям и .
Уравнение эквивалентно уравнению .
Уравнение при нечетном n эквивалентно уравнению , а при четном n эквивалентно двум уравнениям и .
Алгебраическим уравнением называется уравнение вида
,
где – многочлен n-й степени от одной или нескольких переменных.
Алгебраическим уравнением с одним неизвестным называется уравнение, сводящееся к уравнению вида
+ +... + + ,
где n – неотрицательное целое число; коэффициенты многочлена , , ,..., , называются коэффициентами (или параметрами) уравнения и считаются заданными; х называется неизвестным и является искомым. Число n называется степенью уравнения.
Значения неизвестного х, обращающие алгебраическое уравнение в тождество, называются корнями (реже решениями) алгебраического уравнения.
Есть несколько видов уравнений, которые решаются по готовым формулам. Это линейное и квадратное уравнения, а также уравнения вида F(х) , где F – одна из стандартных функций (степенная или показательная функция, логарифм, синус, косинус, тангенс или котангенс). Такие уравнения считаются простейшими. Так же существуют формулы и для кубического уравнения, но его к простейшим не относят.
Так вот, главная задача при решении любого уравнения – свести его к простейшим.
Все ниже перечисленные уравнения имеют так же и свое графическое решение, которое заключается в том, чтобы представить левую и правую части уравнения как две одинаковые функции от неизвестного. Затем строится график сначала одной функции, а затем другой и точка(и) пересечения двух графиков даст решение(я) исходного уравнения. Примеры графического решения всех уравнений даны в приложении.
Линейное уравнение
Линейным уравнением называется уравнение первой степени.
, (1)
где a и b – некоторые действительные числа.
Линейное уравнение всегда имеет единственный корень , который находится следующим образом.
Прибавляя к обеим частям уравнения (1) число , получаем уравнение
, (2)
эквивалентное уравнению (1). Разделив обе части уравнения (2) на величину , получаем корень уравнения (1):
.
Квадратное уравнение
Алгебраическое уравнение второй степени.
, (3)
где , , – некоторые действительные числа, называется квадратным уравнением. Если , то квадратное уравнение (3) называется приведенным.
Корни квадратного уравнения вычисляются по формуле
,
Выражение называется дискриминантом квадратного уравнения.
При этом:
если , то уравнение имеет два различных действительных корня;
если , то уравнение имеет один действительный корень кратности 2;
если , то уравнение действительных корней не имеет, а имеет два комплексно сопряженных корня:
, ,
Частными видами квадратного уравнения (3) являются:
1) Приведенное квадратное уравнение (в случае, если ), которое обычно записывается в виде
.
Корни приведенного квадратного уравнения вычисляются по формуле
. (4)
Эту формулу называют формулой Виета – по имени французского математика конца XVI в., внесшего значительный вклад в становление алгебраической символики.
2) Квадратное уравнение с четным вторым коэффициентом, которое обычно записывается в виде
( - целое число).
Корни этого квадратного уравнения удобно вычислять по формуле
. (5)
Формулы (4) и (5) являются частными видами формулы для вычисления корней полного квадратного уравнения.
Корни приведенного квадратного уравнения
связаны с его коэффициентами Формулами Виета
,
.
В случае, если приведенное квадратное уравнение имеет действительные корни, формулы Виета позволяют судить как о знаках, так и об относительной величине корней квадратного уравнения, а именно:
если , , то оба корня отрицательны;
если , , то оба корня положительны;
если , , то уравнение имеет корни разных знаков, причем отрицательный корень по абсолютной величине больше положительного;
если , , уравнение имеет корни разных знаков, причем отрицательный корень по абсолютной величине меньше положительного корня.
Перепишем еще раз квадратное уравнение
(6)
и покажем еще один способ как можно вывести корни квадратного уравнения (6) через его коэффициенты и свободный член. Если
+ + , (7)
то корни квадратного уравнения вычисляются по формуле
,
откуда
, .
которая может быть получена в результате следующих преобразований исходного уравнения, а так же с учетом формулы (7).
,
Заметим, что , поэтому
,
откуда
.
,
но , из формулы (7) поэтому окончательно
.
Если положить, что + , то
,
Заметим, что , поэтому
,
откуда
,
но , поэтому окончательно
.
и
.
Двучленные уравнения
Уравнения n-й степени вида
(8)
называется двучленным уравнением. При и заменой [2])
,
где - арифметическое значение корня, уравнение (8) приводится к уравнению
,
которое и будет далее рассматриваться.
Двучленное уравнение при нечетном n имеет один действительный корень . В множестве комплексных чисел это уравнение имеет n корней (из которых один действительный и комплексных):
( 0, 1, 2,..., ). (9)
Двучленное уравнение при четном n в множестве действительных чисел имеет два корня , а в множестве комплексных чисел n корней, вычисляемых по формуле (9).
Двучленное уравнение при четном n имеет один действительный корней , а в множестве комплексных чисел корней, вычисляемых по формуле
( 0, 1, 2,..., ). (10)
Двучленное уравнение при четном n имеет действительный корней не имеет. В множестве комплексных чисел уравнение имеет корней, вычисляемых по формуле (10).
Приведем краткую сводку множеств корней двучленного уравнения для некоторых конкретных значений n.
1) ().
Уравнение имеет два действительных корня .
2) ().
Уравнение имеет один дествительный корень и два комплексных корня
.
3) ().
Уравнение имеет два действительных корния и два комплексных корня .
4) ().
Уравнение действительных корней не имеет. Комплексные корни: .
5) ().
Уравнение имеет один дествительный корень и два комплексных корня
.
6) ().
Уравнение действительных корней не имеет. Комплексные корни:
, .
Кубические уравнения
Если квадратные уравнения умели решать еще математики Вавилонии и Древней Индии, то кубические, т.е. уравнения вида
, где ,
оказались "крепким орешком". В конце XV в. профессор математики в университетах Рима и Милана Лука Пачоли в своем знаменитом учебнике "Сумма знаний по арифметике, геометрии, отношениям и пропорциональности" задачу о нахождении общего метода для решения кубических уравнений ставил в один ряд с задачей о квадратуре круга. И все же усилиями итальянских алгебраистов такой метод вскоре был найден.
Начнем с упрощения
Если кубическое уравнение общего вида
, где ,
разделить на , то коэффициент при станет равен 1. Поэтому в дальнейшем будем исходить из уравнения
. (11)
Так же как в основе решения квадратного уравнения лежит формула квадрата суммы, решение кубического уравнения опирается на формулу куба суммы:
Чтобы не путаться в коэффициентах, заменим здесь на и перегруппируем слагаемые:
. (12)
Мы видим, что надлежащим выбором , а именно взяв , можно добиться того, что правая часть этой формулы будет отличаться от левой части уравнения (11) только коэффициентом при и свободным членом. Сложим уравнения (11) и (12) и приведем подобные:
.
Если здесь сделать замену , получим кубическое уравнение относительно без члена с :
.
Итак, мы показали, что в кубическом уравнении (11) с помощью подходящей подстановки можно избавиться от члена, содержащего квадрат неизвестного. Поэтому теперь будем решать уравнение вида
. (13)
Формула Кардано
Давайте еще раз обратимся к формуле куба суммы, но запишем ее иначе:
.
Сравните эту запись с уравнением (13) и попробуйте установить связь между ними. Даже с подсказкой это непросто. Надо отдать должное математикам эпохи Возрождения, решившим кубическое уравнение, не владея буквенной символикой. Подставим в нашу формулу :
, или
.
Теперь уже ясно: для того, чтобы найти корень уравнения (13), достаточно решить систему уравнений
или
и взять в качестве сумму и . Заменой , эта система приводится к совсем простому виду:
Дальше можно действовать по-разному, но все "дороги" приведут к одному и тому же квадратному уравнению. Например, согласно теореме Виета, сумма корней приведенного квадратного уравнения равна коэффициенту при со знаком минус, а произведение – свободному члену. Отсюда следует, что и - корни уравнения
.
Выпишем эти корни:
Переменные и равны кубическим корням из и , а искомое решение кубического уравнения (13) – сумма этих корней:
.
Эта формула известная как формула Кардано.