Уравнения, содержащие неизвестное под знаком абсолютной величины, можно свести к уравнениям, не содержащим знака абсолютной величины, используя определение модуля. Так, например, решение уравнения
(21)
сводится к решению двух уравнений с дополнительными условиями.
1) Если 
, то уравнение (21) приводится к виду
. (22)
Решения этого уравнения: 
, 
. Условию 
удовлетворяет второй корень квадратного уравнения (22), и число 3 является корнем уравнения (21).
2) Если 
, уравнение (21) приводится к виду
.
Корнями этого уравнения будут числа 
и 
. Первый корень 
не удовлетворяет условию 
и поэтому не является решением данного уравнения (21).
Таким образом, решениями уравнения (21) будут числа 3 и 
.
Заметим, что коэффициенты уравнения, содержащего неизвестное под знаком абсолютной величины, можно подобрать таким образом, что решениями уравнения будут все значения неизвестного, принадлежащие некоторому промежутку числовой оси. Например, решим уравнение
. (23)
Рассмотрим числовую ось Ох и отметим на ней точки 0 и 3 (ноли функций, стоящих под знаком абсолютной величины). Эти точки разобьют числовую ось на три промежутка (рис. 1):
, 
, 
.
0 3 x
рис. 1.
1) При 
уравнение (23) приводится к виду
.
В промежутке 
последнее уравнение решений не имеет.
Аналогично, при 
уравнение (23) приводится к виду
и в промежутке 
решений не имеет.
2) При 
уравнение (23) приводится к виду
,
т. е. обращается в тождество. Следовательно, любое значение 
является решением уравнения (23).
Трансцендентные уравнения
Уравнение, не сводящееся к алгебраическому уравнению с помощью алгебраических преобразований, называется трансцендентным уравнением [4]).
Простешими трансцендентными уравнениями являются показательные, логарифмические и тригонометрические уравнения.
Показательные уравнения
Показательным уравнением называется уравнение, в котором неизвестное входит только в показатели степеней при некоторых постоянных основаниях.
Простейшим показательным уравнением, решение которого сводится к решению алгебраического уравнения, является уравнение вида
, (24)
где 
и 
- некоторые положительные числа 
. Показательное уравнение (24) эквивалентно алгебраическому уравнению
.
В простейшем случае, когда 
, показательное уравнение (24) имеет решение
Множество решений показательного уравнения вида
, (25)
где 
- некоторый многочлен, находится следующим образом.
Вводится новая переменная 
, и уравнение (25) решается как алгебраическое относительно неизвестного 
. После этого решение исходного уравнения (25) сводится к решению простейших показательных уравнений вида (24).
П р и м е р 1. Решить уравнение
.
Записывая уравнение в виде
и вводя новую переменную 
, получаем кубическое уравнение относительно переменной 
:
.
Нетрудно убедиться, что данное кубическое уравнение имеет единственный рациональный корень 
и два иррациональных корня: 
и 
.
Таким образом, решение исходного уравнения сведено к решению простейших показательных уравнений:
, 
, 
.
Последнее из перечисленных, уравнений решений не имеет. Множество решений первого и второго уравнений:
и 
.
Н е к о т о р ы е п р о с т е й ш и е п о к а з а т е л ь н ы е у р а в н е н и я:
1) Уравнение вида
заменой 
сводится к квадратному уравнению
.
2) Уравнение вида
заменой 
сводится к квадратному уравнению
.
3) Уравнение вида
заменой 
сводится к квадратному уравнению
.