Расчетные таблицы для определения коэффициента корреляции рангов Спирмэна

Удой молока на среднегодовую корову, кг	Себестоимость молока за 1 кг, руб.	Ранги	Разность рангов d = Nx - Ny	d2
x	y	Nx	Ny
	0,313			-5
	0,413
	0,268			-18
	0,31			-11
	0,309			-13
	0,288			-16
	0,357
	0,247			-15
	0,305			-11
	0,376
	0,351	13,5		3,5	12,25
	0,356	9,5		0,5	0,25
	0,312			-7
	0,415	9,5		8,5	72,25
	0,411
	0,38
	0,326
	0,341	13,5		2,5	6,25
	0,398
	0,405
n = 20				∑ d 2 =
				ρ =	-0,803

 

Из выше приведенного можно сказать о сильной обратной связи между удоем молока и себестоимостью, т.е. при увеличении удоя себестоимость молока снижается.

Расход кормов на 1 корову, корм.ед.	Себестоимость молока за 1 кг, руб.	Ранги	Разность рангов d = Nx - Ny	d2
x	y	Nx	Ny
48,2	0,313			-4
43,1	0,413
60,7	0,268			-18
60,1	0,31			-13
59,4	0,309			-13
52,5	0,288			-10
	0,357
54,2	0,247			-16
53,2	0,305			-10
46,4	0,376
47,1	0,351
46,1	0,356
53,9	0,312			-9
53,4	0,415
39,4	0,411
40,2	0,38
45,5	0,326
41,4	0,341
47,8	0,398
46,3	0,405
n = 20				∑ d 2 =
				ρ =	-0,656

 

Так как значение коэффициента отрицательно, следовательно, имеем обратную связь между расходом кормов на 1 корову и себестоимостью молока.

Удельный вес чистопородных коров в стаде, %	Себестоимость молока за 1 кг, руб.	Ранги	Разность рангов d = Nx - Ny	d2
x	y	Nx	Ny
	0,313			-6
	0,413
	0,268			-16
	0,31			-10
	0,309			-14
	0,288			-17
	0,357
	0,247			-16
	0,305			-11
	0,376
	0,351
	0,356
	0,312			-6
	0,415
	0,411
	0,38
	0,326
	0,341
	0,398
	0,405
n = 20				∑ d 2 =
				ρ =	-0,699

 

Имеется обратная зависимости между удельным весом чистопородных коров в стаде и себестоимостью молока.

 

Удой молока на среднегодовую корову, кг	Расход кормов на 1 корову, корм.ед.	Ранги	Разность рангов d = Nx - Ny	d2
x	y	Nx	Ny
	48,2			-1
	43,1			-2
	60,7
	60,1
	59,4
	52,5			-6
	54,2
	53,2			-1
	46,4
	47,1	13,5		2,5	6,25
	46,1	9,5		-4,5	20,25
	53,9
	53,4	9,5		3,5	12,25
	39,4
	40,2
	45,5			-3
	41,4	13,5		-4,5	20,25
	47,8
	46,3
n = 20				∑ d 2 =
				ρ =	0,871

 

Полученное значение коэффициента корреляции рангов Спирмэна свидетельствует о сильной прямой связи между удоем молока и расходом кормов на 1 корову, т.е. при увеличении расхода кормов в пересчете на 1 корову увеличивается и удой молока на среднегодовую корову.

 

Удой молока на среднегодовую корову, кг	Удельный вес чистопородных коров в стаде, %	Ранги	Разность рангов d = Nx - Ny	d2
x	y	Nx	Ny
				-2
				-1
				-3
		13,5		0,5	0,25
		9,5		0,5	0,25
				-1
		9,5		-3,5	12,25
				-1
		13,5		-4,5	20,25
				-1
n = 20				∑ d 2 =
				ρ =	0,893

 

Значение положительно, поэтому имеемхарактеризует сильную прямую связь между удоем молока и удельным весом чистопородных коров в стаде и показывает, что вариация результативного признака на 89,3 % обусловлена вариацией факторного признака (согласно коэффициенту Спирмэна).

 

Расход кормов на 1 корову, корм.ед.	Удельный вес чистопородных коров в стаде, %	Ранги	Разность рангов d = Nx - Ny	d2
x	y	Nx	Ny
48,2
43,1
60,7				-2
60,1				-3
59,4
52,5
				-3
54,2
53,2
46,4				-4
47,1				-2
46,1
53,9				-3
53,4				-7
39,4
40,2
45,5
41,4
47,8				-2
46,3
n = 20				∑ d 2 =
				ρ =	0,817

 

О сильной прямой зависимости между расходом кормов в пересчете на 1 корову и удельным весом чистопородных коров в стаде говорит значение коэффициента. Чем выше удельный вес, тем выше расход кормов.

Но следует иметь в виду, что, поскольку коэффициент Спирмэна учитывает разность только рангов, а не самих значений признаков, он менее точен по сравнению с линейным коэффициентом корреляции. Воспользуемся последним.

Воспользуемся программным пакетом Stata 7.

Корреляционная матрица имеет вид:

 

. corr ud korm ves sst

(obs=20)

 

| ud korm ves sst

-------------+------------------------------------

ud | 1.0000

korm | 0.8851 1.0000

ves | 0.9401 0.8290 1.0000

sst | -0.7875 -0.6497 -0.7587 1.0000

 

· ud – удой молока на среднегодовую корову,

· korm – расход кормов на 1 корову,

· ves – удельный вес чистопородных коров в стаде,

· sst – себестоимость молока за 1 кг.

Можно сделать вывод, что присутствует обратная связь между себестоимостью и удоем молока (r = - 0,79), себестоимостью и удельным весом (r = - 0,76),себестоимостью и расходом кормов (r = - 0,65).Имеется сильная прямая связи между удоем молока и расходом кормов (r = 0,89), удоем молока и удельным весом (r = 0,94), расходом кормов и удельным весом (r = 0,83). Если сравнивать значения, полученные линейным коэффициентом корреляции и ранговым коэффициентом Спирмэна, то расхождения не превысят 8 %. В большинстве же своем погрешность составляет около 1 %.

Теперь проверим коэффициенты корреляции на значимость:

 

. pwcorr ud korm ves sst

 

| ud korm ves sst

-------------+------------------------------------

ud | 1.0000

korm | 0.8851 1.0000

ves | 0.9401 0.8290 1.0000

sst | -0.7875 -0.6497 -0.7587 1.0000

 

Все коэффициенты значимы.

Построим модель.

Так как значения удоя молока и значения других показателей отличаются на порядок, то будем использовать вместо переменной «удой молока» переменную натурального логарифма удоя молока.

Рассмотрим в качестве результативного фактора себестоимость молока за 1 кг, поскольку важен расчет именно себестоимости и определение от каких факторов и насколько она зависит. Удой молока, расход кормов на 1 корову и удельный вес чистопородных коров в стаде могут повлиять на значение себестоимости.

Приведем графики зависимости себестоимости от каждого из факторов:

От логарифма удоя молока

От расхода кормов на 1 корову

От удельного веса чистопородных коров в стаде

Графики демонстрируют нам обратную зависимость между результативным фактором – себестоимостью и объясняющим фактором, что подтверждается значениями коэффициентов корреляции.

Вначале рассмотрим линейную модель по всем факторам:

 

. reg sst lnud korm ves

 

Source | SS df MS Number of obs = 20

-------------+------------------------------ F(3, 16) = 10.37

Model |.031800232 3.010600077 Prob > F = 0.0005

Residual |.016350718 16.00102192 R-squared = 0.6604

-------------+------------------------------ Adj R-squared = 0.5968

Total |.04815095 19.002534261 Root MSE =.03197

 

------------------------------------------------------------------------------

sst | Coef. Std. Err. t P>|t| [95% Conf. Interval]

-------------+----------------------------------------------------------------

lnud | -.2305787.1162704 -1.98 0.065 -.4770609.0159036

korm |.0026417.0025775 1.02 0.321 -.0028223.0081057

ves | -.0000138.0024772 -0.01 0.996 -.0052651.0052376

_cons | 2.088534.7538614 2.77 0.014.4904194 3.686649

------------------------------------------------------------------------------

 

Хотя у этой модели и достаточно хороший коэффициент детерминации и согласно F-критерию Фишера оно значимо, параметры при переменных lnud, korm, ves не значимы по t-критерию Стьюдента с P-значениями 0.065, 0.321 и 0.996. Значит, эта модель не подходит.

Построим модель вида:

 

. reg sst lnud1 korm1 ves1

 

Source | SS df MS Number of obs = 20

-------------+------------------------------ F(3, 16) = 10.32

Model |.031744654 3.010581551 Prob > F = 0.0005

Residual |.016406296 16.001025393 R-squared = 0.6593

-------------+------------------------------ Adj R-squared = 0.5954

Total |.04815095 19.002534261 Root MSE =.03202

 

------------------------------------------------------------------------------

sst | Coef. Std. Err. t P>|t| [95% Conf. Interval]

-------------+----------------------------------------------------------------

lnud1 | 14.46292 6.110319 2.37 0.031 1.509625 27.41622

korm1 | -5.633853 5.967609 -0.94 0.359 -18.28462 7.016912

ves1 |.6831225 6.892859 0.10 0.922 -13.92909 15.29533

_cons | -1.33304.6029802 -2.21 0.042 -2.611301 -.0547791

------------------------------------------------------------------------------

 

Видим что коэффициент детерминации хорош - 0,659 и по F-критерию Фишера уравнение значимо. Но параметры при переменных korm1, ves1 не значимы по t-критерию Стьюдента с P-значениями 0.359 и 0.922. Значит, эта модель не подходит.

 

Будем рассматривать различные комбинации переменных при включении в модель. Построим модель вида:

 

. reg sst lnud korm1 ves1

 

Source | SS df MS Number of obs = 20

-------------+------------------------------ F(3, 16) = 10.09

Model |.031497211 3.01049907 Prob > F = 0.0006

Residual |.016653739 16.001040859 R-squared = 0.6541

-------------+------------------------------ Adj R-squared = 0.5893

Total |.04815095 19.002534261 Root MSE =.03226

 

------------------------------------------------------------------------------

sst | Coef. Std. Err. t P>|t| [95% Conf. Interval]

-------------+----------------------------------------------------------------

lnud | -.2065493.0898758 -2.30 0.035 -.3970775 -.0160212

korm1 | -5.156249 5.939941 -0.87 0.398 -17.74836 7.435864

ves1 | 1.094516 6.895036 0.16 0.876 -13.52231 15.71134

_cons | 2.109487.8816345 2.39 0.029.2405058 3.978469

------------------------------------------------------------------------------

 

Так же как и в предыдущих моделях, значение R-квадрата хорошее, уравнение значимо по F-критерию Фишера, но одновременно с этим параметры при переменных korm1, ves1 с P-значениями 0.398 и 0.876 соответственно не значимы по t-критерию Стьюдента. Также отбросим эту модель.

Построим модель вида:

 

. reg sst lnud1 korm ves1

 

Source | SS df MS Number of obs = 20

-------------+------------------------------ F(3, 16) = 10.60

Model |.032029999 3.010676666 Prob > F = 0.0004

Residual |.016120951 16.001007559 R-squared = 0.6652

-------------+------------------------------ Adj R-squared = 0.6024

Total |.04815095 19.002534261 Root MSE =.03174

 

------------------------------------------------------------------------------

sst | Coef. Std. Err. t P>|t| [95% Conf. Interval]

-------------+----------------------------------------------------------------

lnud1 | 15.74117 6.497854 2.42 0.028 1.966333 29.516

korm |.0027978.0025644 1.09 0.291 -.0026386.0082341

ves1 |.0207899 6.780318 0.00 0.998 -14.35284 14.39442

_cons | -1.732706.8136604 -2.13 0.049 -3.457589 -.0078235

------------------------------------------------------------------------------

 

R-квадрат хорош- 0,665, уравнение значимо согласно F-критерию Фишера. Но при этом параметры при переменных korm, ves1 с P-значениями 0.291 и 0.998 соответственно не значимы по t-критерию Стьюдента. Также отбросим эту модель.

Рассмотрим модель:

 

. reg sst lnud1 korm1 ves

 

Source | SS df MS Number of obs = 20

-------------+------------------------------ F(3, 16) = 10.31

Model |.031738225 3.010579408 Prob > F = 0.0005

Residual |.016412725 16.001025795 R-squared = 0.6591

-------------+------------------------------ Adj R-squared = 0.5952

Total |.04815095 19.002534261 Root MSE =.03203

 

------------------------------------------------------------------------------

sst | Coef. Std. Err. t P>|t| [95% Conf. Interval]

-------------+----------------------------------------------------------------

lnud1 | 14.53007 7.378598 1.97 0.066 -1.111856 30.172

korm1 | -5.544031 5.927707 -0.94 0.364 -18.11021 7.022147

ves | -.0001462.002454 -0.06 0.953 -.0053485.005056

_cons | -1.322613.969369 -1.36 0.191 -3.377583.7323579

------------------------------------------------------------------------------

 

Как и в предыдущих моделях, несмотря на значимость уравнения и хорошее значение коэффициента детерминации, эту регрессионную модель мы также отбросим, так как в ней незначимы параметры при переменных lnud1, korm1, ves согласно t-критерию Стьюдента.

 

Рассмотрим модель:

 

 

. reg sst lnud lnud2 korm korm2 ves ves2

 

Source | SS df MS Number of obs = 20

-------------+------------------------------ F(6, 13) = 4.52

Model |.032557159 6.005426193 Prob > F = 0.0109

Residual |.015593791 13.001199522 R-squared = 0.6761

-------------+------------------------------ Adj R-squared = 0.5267

Total |.04815095 19.002534261 Root MSE =.03463

 

------------------------------------------------------------------------------

sst | Coef. Std. Err. t P>|t| [95% Conf. Interval]

-------------+----------------------------------------------------------------

lnud | -5.729043 9.44621 -0.61 0.555 -26.13634 14.67825

lnud2 |.341597.5910669 0.58 0.573 -.9353253 1.618519

korm |.0132344.0388671 0.34 0.739 -.0707327.0972016

korm2 | -.0001134.0004041 -0.28 0.783 -.0009865.0007596

ves |.0150622.0364293 0.41 0.686 -.0636385.0937629

ves2 | -.0001446.0003466 -0.42 0.683 -.0008934.0006042

_cons | 23.57414 36.19652 0.65 0.526 -54.62369 101.772

------------------------------------------------------------------------------

 

Эта модель также не подходит, поскольку параметры при всех переменных не значимы согласно t-критерию Стьюдента.

Рассмотрим модель:

 

. reg sst lnud2 korm2 ves2

 

Source | SS df MS Number of obs = 20

-------------+------------------------------ F(3, 16) = 10.39

Model |.031819188 3.010606396 Prob > F = 0.0005

Residual |.016331762 16.001020735 R-squared = 0.6608

-------------+------------------------------ Adj R-squared = 0.5972

Total |.04815095 19.002534261 Root MSE =.03195

 

------------------------------------------------------------------------------

sst | Coef. Std. Err. t P>|t| [95% Conf. Interval]

-------------+----------------------------------------------------------------

lnud2 | -.0150021.0079436 -1.89 0.077 -.0318418.0018377

korm2 |.000028.0000263 1.07 0.302 -.0000277.0000838

ves2 | 2.49e-06.0000227 0.11 0.914 -.0000457.0000507

_cons | 1.258054.4178871 3.01 0.008.3721731 2.143935

------------------------------------------------------------------------------

 

И в этой модели параметры при переменных не значимы по t-критерию Стьюдента. Отбрасываем эту модель.

Воспользуемся процедурой пошагового отбора регрессоров при построении множественной регрессии. При этом из исходного набора объясняющих переменных будут включаться в число регрессоров в первую очередь те переменные, которые имеют больший уровень значимости. Вначале включим в набор переменных переменную , а затем переменную .

 

. sw reg sst lnud korm ves korm1 ves1 lnud2 korm2 ves2,pe(0.05)

begin with empty model

p = 0.0000 < 0.0500 adding lnud

 

Source | SS df MS Number of obs = 20

-------------+------------------------------ F(1, 18) = 31.70

Model |.030711968 1.030711968 Prob > F = 0.0000

Residual |.017438982 18.000968832 R-squared = 0.6378

-------------+------------------------------ Adj R-squared = 0.6177

Total |.04815095 19.002534261 Root MSE =.03113

 

------------------------------------------------------------------------------

sst | Coef. Std. Err. t P>|t| [95% Conf. Interval]

-------------+----------------------------------------------------------------

lnud | -.1672727.0297095 -5.63 0.000 -.22969 -.1048553

_cons | 1.703191.241499 7.05 0.000 1.19582 2.210561

------------------------------------------------------------------------------

 

В итоге получили модель . Это уравнение значимо согласно F-критерию Фишера, и параметр при переменной lnud и константа значимы по t-критерию Стьюдента. 63,78 % суммы квадратов отклонений переменной sst от среднего значения объясняется переменными модели. А при увеличении удоя молока на 2,72 % себестоимость снижается на 0,17 %.

 

. sw reg sst lnud1 korm ves korm1 ves1 lnud2 korm2 ves2,pe(0.05)

begin with empty model

p = 0.0000 < 0.0500 adding lnud1

 

Source | SS df MS Number of obs = 20

-------------+------------------------------ F(1, 18) = 32.04

Model |.030830369 1.030830369 Prob > F = 0.0000

Residual |.017320581 18.000962254 R-squared = 0.6403

-------------+------------------------------ Adj R-squared = 0.6203

Total |.04815095 19.002534261 Root MSE =.03102

 

------------------------------------------------------------------------------

sst | Coef. Std. Err. t P>|t| [95% Conf. Interval]

-------------+----------------------------------------------------------------

lnud1 | 11.2229 1.982717 5.66 0.000 7.057366 15.38843

_cons | -1.038311.2443161 -4.25 0.000 -1.5516 -.5250216

------------------------------------------------------------------------------

 

Получили модель . Это уравнение значимо по F-критерию Фишера, и параметр при переменной lnud1 и константа значимы по t-критерию Стьюдента. 64,03 % суммы квадратов отклонений переменной sst от среднего значения объясняется переменными модели.

Сделаем выбор между этими двумя моделями. Представим критерии выбора модели в следующей таблице:

 

Модель	Критерий
R-квадрат	Скорректированный R-квадрат	Акейка	Шварца	σост
	0.6378	0.6177	-13,9896	-6,89499	0,0302959
	0.6403	0.6203	-14,0032	-6,90180	0,03019289

 

Из данной таблицы видно, что по всем критериям гиперболическая модель лучше линейной.

Проверим регрессию на автокорреляцию остатков:

 

. regdw sst lnud1,t(lnud1) force

 

Source | SS df MS Number of obs = 20

-------------+------------------------------ F(1, 18) = 32.04

Model |.030830369 1.030830369 Prob > F = 0.0000

Residual |.017320581 18.000962254 R-squared = 0.6403

-------------+------------------------------ Adj R-squared = 0.6203

Total |.04815095 19.002534261 Root MSE =.03102

 

------------------------------------------------------------------------------

sst | Coef. Std. Err. t P>|t| [95% Conf. Interval]

-------------+----------------------------------------------------------------

lnud1 | 11.2229 1.982717 5.66 0.000 7.057366 15.38843

_cons | -1.038311.2443161 -4.25 0.000 -1.5516 -.5250216

------------------------------------------------------------------------------

Durbin-Watson Statistic = 2.460766

Проверка на автокорреляцию дает удовлетворительное значение статистики Дарбина-Уотсона 2,46 (автокорреляция отсутствует), так как , где (табличное значение). Это означает, что ошибки независимы между собой.

Построим график остатков регрессии от оцененной зависимой переменной:

 

. fit sst lnud1

 

Source | SS df MS Number of obs = 20

-------------+------------------------------ F(1, 18) = 32.04

Model |.030830369 1.030830369 Prob > F = 0.0000

Residual |.017320581 18.000962254 R-squared = 0.6403

-------------+------------------------------ Adj R-squared = 0.6203

Total |.04815095 19.002534261 Root MSE =.03102

 

------------------------------------------------------------------------------

sst | Coef. Std. Err. t P>|t| [95% Conf. Interval]

-------------+----------------------------------------------------------------

lnud1 | 11.2229 1.982717 5.66 0.000 7.057366 15.38843

_cons | -1.038311.2443161 -4.25 0.000 -1.5516 -.5250216

------------------------------------------------------------------------------

. rvfplot, c(m)

 

Можно предположить наличие гетероскедастичноти, поскольку разброс значений остатков увеличивается с ростом значений себестоимости молока. Проверим этот факт с помощью теста Бреуша-Пагана:

 

. hettest

 

Cook-Weisberg test for heteroskedasticity using fitted values of sst

Ho: Constant variance

chi2(1) = 0.01

Prob > chi2 = 0.9328

 

Тест Бреуша-Пагана подтверждает наличие гетероскедастичности, потому что гипотеза о постоянстве дисперсий отклоняется.

Скорректируем стандартные ошибки по Навье-Весту, учитывая гетероскедастичность:

 

. newey sst lnud1, lag(0) force

 

Regression with Newey-West standard errors Number of obs = 20

maximum lag: 0 F(1, 18) = 60.26

Prob > F = 0.0000

 

------------------------------------------------------------------------------

| Newey-West

sst | Coef. Std. Err. t P>|t| [95% Conf. Interval]

-------------+----------------------------------------------------------------

lnud1 | 11.2229 1.445712 7.76 0.000 8.18557 14.26023

_cons | -1.038311.1784612 -5.82 0.000 -1.413244 -.6633776

------------------------------------------------------------------------------

 

Изменились доверительные интервалы для параметров переменных модели.

Итак, имеем модель: ,

(sst-себестоимость молока за 1 кг, руб);

 

lnud-логарифм удоя молока на среднегодовую корову, кг.

Себестоимость не зависит ни от расхода кормов на 1 корову, ни от удельного веса чистопородных коров в стаде. Выявлена обратная пропорциональность между себестоимостью молока и логарифмом удоя молока, а следовательно, и просто удоем молока. Стандартная ошибка переменной составляет 1.4457, а константы – 0.1785. Доверительный интервал   для    переменной –   [ 8.1856 ; 14.2602 ], для константы  –  [ -1.4132 ; -0.6634 ].

 

Рассчитаем прогнозные значения показателей, когда уровень факторных показателей на 30 % превышает средние величины исходных данных. Средний показатель удоя молока на среднегодовую корову равен 3476.5 кг. Превышение этого значения на 30 % составляет 4519.45 кг. Прологарифмируя, получим: lnud = 8.416. Тогда, согласно модели, себестоимость при таком значении удоя молока составит 0,296 руб. за 1 кг.