Погрешность единичного измерения. Случайная погрешность - это составляющая погрешности измерения, которая изменяется случайным образом при повторных измерениях одной и той же величины. Случайные погрешности являются следствием многих причин, роль каждой из них незначительна и изменчива, поэтому исследовать каждую из причин, предусмотреть её влияние при данном измерении оказывается невозможным. Можно принять меры для уменьшения случайных погрешностей. Например, погрешность, обусловленную реакцией чело-
века, можно уменьшить, если использовать автоматическое устройство для включения секундомера. Случайные погрешности измерений являются случайными величинами и подчиняются определённым статистическим закономерностям, которые изучаются математической теорией погрешностей. Изучение закономерностей, которым подчиняются случайные погрешности, можно сделать наглядными, если построить диаграмму, которая показывает, как часто получались те или иные результаты измерения. Такая диаграмма называется гистограммой распределения результатов измерения.
Гистограммы распределения результатов измерения, полученные при измерениях физических величин, выполненных с помощью разнообразных приборов и методов, в большинстве случаев очень похожи. Они различаются только шириной гистограммы и положением максимума, т.е. величиной X. Про такие распределения говорят, что они подчиняются закону Гаусса (распределение Гаусса или нормальное распределение). Общепринятой характеристикой точности является предложенная К.Ф. Гауссом средняя квадратическая погрешность (1).
, (1)
где Δ1, Δ2, …, Δn - случайные погрешности измерений. Достоинством этой характеристики является ее устойчивость, независимость от знаков отдельных погрешностей и усиленное влияние больших погрешностей.
Теоретически строгим значением средней квадратической погрешности считают оценку, получаемую по формуле (1) при бесконечно большом числе измерений, то есть при n. Такую строгое значение средней квадратической погрешности часто именуют терминомстандарт. На практике приходится пользоваться ограниченным числом измерений, отчего оценки, вычисленные по формуле (1) вследствие случайного характера погрешностей Δi отличаются от строгой оценки - стандарта. Средняя квадратическая погрешность определения m по формуле (1) приближенно равна
, (2)
Формула (1) находит применение при исследовании точности геодезических приборов и методов измерений, когда известно достаточно точное, близкое к истинному, значение X измеряемой величины. Но обычно значение измеряемой величины заранее неизвестно. Тогда вместо формулы Гаусса пользуются формулой Бесселя, определяющей среднюю квадратическую погрешность по отклонениям результатов измерений от среднего. В большинстве случаев погрешности измерений распределены по нормальному закону, установленному Гауссом. Это означает, что в интервал от - m до +m попадает 68,27% результатов повторных измерений одной и той же величины. В интервал от - 2m до +2m попадает 95,45%, а в интервал от - 3m до +3m попадает 99,73%. Таким образом, вероятность того, что случайная погрешность превышает 2m, равна 4,5%, а что она превышает 3m - лишь 0,27%. Поэтому погрешности, большие 2m, считают практически невероятными и относят к числу грубых погрешностей, промахов. Величину 2m называют предельной погрешностью и используют как допуск при отбраковке некачественных результатов измерений.
Dпред = 2 m.
В ряде случаев за предельно допустимую погрешность принимают величину 3m. Величины D, m, Dпред, выражаемые в единицах измеряемой величины, называются абсолютными погрешностями. Наряду с абсолютными применяются также и относительные погрешности, представляющие собой отношение абсолютной погрешности к измеряемой величине. Относительную погрешность принято выражать в виде простой дроби с единицей в числителе, например
, (3)
где l - значение измеряемой величины, аN - знаменатель дроби.
Относительные погрешности используют, например, когда точность результата измерения зависит от измеряемой величины. Так при одинаковой абсолютной погрешности двух измеренных линий точнее измерена та, длина которой больше.
погрешность измерение систематическая случайная