Уравнение Бернулли для идеальной жидкости

Для двух различных сечений элементарной струйки идеальной жидкости можно написать уравнение:

,

полученное в 1738 г. физиком и математиком Даниилом Бернулли является фундаментальным уравнением гидродинамики. Оно дает связь между давлением p и средней скоростью υ.

Существует три вида трактовок уравнения Бернулли:

1. Механическая трактовка:

[ Па ]

Физическая сущность трактовки: закон сохранения сумм внешнего давления р, давления весового столба жидкости и скоростного давления .

2. Геометрическая трактовка:

[ м ]

Геометрический смысл уравнения Бернулли для элементарной струйки идеальной жидкости заключается в том, что при установившемся движении идеальной жидкости сумма трех высот (напоров) геометрической z, пьезометрической и скоростной вдоль потока остается постоянной (см. рис. 3).

Геометрическая высота (напор) определяется геометрической высотой расположения центра тяжести сечения над горизонтальной поверхностью равного давления (поверхностью сравнения).

Для определения пьезометрической высоты используется пьезометр - тонкостенная стеклянная трубка, в которой жидкость поднимается на пьезометрическую высоту .

Гидростатический напор складывается из геометрической и пьезометрической высот.

Соединив уровни пьезометрических высот жидкости в нескольких сечениях одного трубопровода, получим пьезометрическую линию (см. рис. 4).

Для определения высоты полного напора в сечении трубопровода необходима трубка Пито – трубка с загнутым концом навстречу потоку жидкости. Высоты столбов жидкости в трубках Пито в разных сечения формируют линию полного напора (уровень полной энергии трубопровода).

Рис. 3

Рис. 4

3. Энергетическая трактовка:

[ ].

Энергетический смысл уравнения Бернулли заключается в том, что при установившемся движении полная удельная энергия частиц идеальной жидкости, составляющих элементарную струйку, сохраняется постоянной по всей длине струйки. Уравнение Бернулли является выражением основного закона физики – закона сохранения механической энергии – применительно к жидкости. Механическая энергия движущейся жидкости может иметь три формы: энергия положения z·g, энергия давления (сумма представляет потенциальную энергию) и кинетическая энергия . В процессе движения жидкости одна форма энергии может превращаться в другую, но полная удельная энергия остается постоянной.

При практическом применении уравнения Бернулли следует придерживаться определенных правил.

1. Прежде всего необходимо выбрать горизонтальную плоскость для отсчета высот (плоскость сравнения). Это обычно самая нижняя плоскость гидросистемы, от которой задается какой-либо вертикальный размер.

2. Выбираются два сечения, перпендикулярные направлению движения жидкости. Сечения можно проводить в любых местах гидросистемы, в том числе и через баки.

3. Если сечение проведено через бак, то средняя скорость в этом сечении равна нулю, т. к. скорость движения жидкости в баках пренебрежимо мала.

4. Уравнение Бернулли - это обычное алгебраическое уравнение, решаемое только при наличии одного неизвестного, поэтому сечения целесообразно выбирать в таких местах гидросистемы, где какие-то параметры заданы. Тогда больше шансов, что останется только одно неизвестное. Например, при наличии бака сечение обычно берут на уровне свободной поверхности в баке.

Кроме уравнения Бернулли, в расчетах часто применяется уравнение постоянства расхода при установившемся движении для двух сечений с площадями

S₁ υ ₁ = S₂ υ ₂

Если окажется, что из одного уравнения Бернулли определить искомую величину невозможно, то необходимо составить еще одно подобное уравнение, выбрав другую пару сечений.