ВВЕДЕНИЕ
Решение разнообразных (различных) задач физики, техники, нередко связано с проведением огромного количества вычислений. Например: надо рассчитать прочность фундамента, чтоб не развалился дом, рассчитать прочность балки, чтоб не обвалился потолок и многое другое.
Поэтому строителей, физиков, техников, инженеров, наука математика интересует не сама по себе, а как средство решения физических, технических задач.
Одним из способов решения задач физики, техники является эксперимент. Построили плотину – её унесло, значит, проект неправильный. Изменим проект и построим другую плотину. Ясно, что, в конце концов, будет построена добротная плотина. Однако, всякий нормальный человек, прежде чем строить, возьмет и посчитает прочность всей постройки, т.е. проведет математический анализ конструкции.
Но такой анализ применяется не к реальным объектам или явлениям, а к некоторым математическим моделям этих явлений. Поэтому.
Первая стадия работы инженера – это формулировка математической модели (т.е. постановка задачи). Для физического процесса модель обычно состоит из уравнений, описывающих физический процесс. В эти уравнения в виде коэффициентов входят характеристики тел или веществ, участвующих в процессе. Например, скорость ракеты при вертикальном полете в вакууме определяется уравнением
(1.1)
где М – начальная масса ракеты, т (t) – заданный расход горючего, g – ускорение силы тяжести, с – скорость истечения газов.
Однако, любое изучаемое явление бесконечно сложно. Оно связано с другими явлениями, поэтому построить подходящую математическую модель бывает чрезвычайно сложно.
Так, уравнение (1.1) непригодно для расчета движения ракеты у поверхности земли, ибо в нем не учтено сопротивление воздуха, поэтому здесь необходимо написать другое уравнение и т.д.
Вторая стадия работы – это математическое исследование. В зависимости от сложности модели применяются различные математические подходы. Для наиболее грубых и несложных моделей зачастую удается получить аналитические решения; это излюбленный путь многих физиков-теоретиков. Например, уравнение (1.1) легко интегрируется при g = const и m (t) = const,
= c ln[ M/ (M-m (t))] – gt.
Из-за грубости модели физическая точность этого подхода невелика; нередко такой подход позволяет получить лишь порядки величин.
Для более точных и сложных моделей аналитические решения удается получить сравнительно редко. Здесь основным методом решения задач являются численные методы. Как правило, они требуют проведения расчетов на ЭВМ.
Основное правило для численных методов следующее: во всех случаях математическая точность решения должна быть в несколько (в 2-4 раза) выше, чем ожидаемая физическая точность модели.
Третья стадия работы – это осмысление математического решения и сопоставление его с экспериментальными данными. Если расчеты хорошо согласуются с контрольными экспериментами, то это свидетельствует о правильном выборе модели. Если расчет с экспериментом не согласуется, то расчетную модель нужно пересмотреть. Эксперимент же уточнению не подлежит, ибо практика - критерий истины.
Одним из мощных методов решения прикладных задач являются численные методы. Простейшие числительные методы используются всюду, например, извлекая квадратный корень на листе бумаги - Вы уже применяете какой-то численный метод.
Численные методы – это методы приближенного решения задач прикладной математики, основанные на реализации алгоритмов, соответствующих математическим моделям. Наука, изучающая численные методы, называется также численным анализом, или вычислительной математикой.
Численные методы, в отличие от аналитических дают не общие, а частные решения, которые определяются не в континуальных (Ω), а в дискретных областях изменения независимых переменных.
Раздел математики, имеющий дело с созданием и обоснованием численных алгоритмов для решения сложных задач различных областей науки, часто называют прикладной математикой. Главная задача прикладной математики – фактическое нахождение решения с требуемой точностью.