В истории прикладной математики можно выделить три основных периода. Первый начался 3-4 тысячи лет назад. Он был связан с ведением конторских книг, вычислением площадей и объемов. Решались задачи арифметики, алгебры, геометрии. Вычислительными средствами были собственные пальцы, а затем – счеты.
Второй период начался с Ньютона. Здесь решались задачи астрономии, геодезии, расчета механизмов конструкций, сводящиеся либо к обыкновенным дифференциальным уравнениям, либо к алгебраическим системам с большим числом неизвестных. Вычисления выполнялись с округлением; нередко от результата требовалась высокая точность, так что приходилось сохранять до 8 значащих цифр. Вычислительные средства стали разнообразнее: таблицы элементарных функций, логарифмическая линейка, арифмометр.
Третий период начался примерно с 1940 года. Военные задачи требовали недоступных человеку скоростей расчета (например, наводка зенитных орудий на быстро движущийся самолет) привели к разработке электронных вычислительных машин.
Приближенный анализ
Понятие близости. Если требуется определить некоторую величину у по известной величине х по какому-либо правилу, то символически задачу можно записать в виде у = А (х). А – определяет это правило, его называют оператором, х и у могут быть числами, совокупностью чисел, функцией одного или нескольких переменных и т.д. Если оператор А настолько сложен, что решение не удается явно выписать или точно вычислить, то задачу решают приближенно.
Например, пусть надо вычислить 
Можно приближенно заменить х (t) многочленом 
(t) или другой функцией, интеграл от которой легко вычислить. Или можно заменить интеграл интегральной суммой 
, вычислить которую тоже не сложно. Таким образом, приближенный метод заключается в замене исходных данных на близкие данные 
, или замене оператора А на близкий ему оператор 
, так, чтобы значение 
легко вычислялось. При этом мы ожидаем, что значение 
будет близко к искомому решению.
Но что такое «близко»?
Говорят, что два числа х 1 и х 2 близки, если величина 
достаточно маленькая. А вот близость двух функций можно определить многими способами.
Эти вопросы рассматриваются в функциональном анализе. Напомним некоторые понятия и определения.
Определение. Множество элементов х любой природы называется метрическим пространством, если в нем введено расстояние ρ (x 1, x 2) между любой парой элементов (метрика). Эта метрика должна удовлетворять следующим аксиомам:
а) ρ (x 1, x 2) – вещественное неотрицательное число;
б) ρ (x 1, x 2) = 0, только если х 1 = х 2;
в) ρ (x 1, x 2) = ρ (x 2, x 1);
г) ρ (x 1, x 3) ≤ ρ (x 1, x 2) + ρ (x 2, x 3).
Элементами наших множеств будут числа, векторы, матрицы, функции. Сами множества обычно образуют линейные нормированные пространства.
Определение. Линейным пространством называется множество F, для элементов которого определены операции сложения и умножения на вещественные или комплексные числа, не выводящие из F. То есть в этих множествах определяются операции сложения элементов, умножения их на число (вещественное или комплексное) и введена норма каждого элемента || х ||. При этом также должны быть выполнены аксиомы.