1. Множество всех действительных чисел с нормой ׀׀ х ׀׀ = ׀ х ׀. Полнота множества действительных чисел состоит в том, что на числовой прямой нет пустот: каждой точке на числовой прямой соответствует какое-нибудь вещественное число.
2. Пространство С – множество функций х (t), определенных и непрерывных при 0 
t 
1, с Чебышевской нормой ׀׀ х ׀׀ C = max ׀ x (t)׀. Сходимость в этом пространстве называется равномерной. Условие 0 t 1 здесь и в следующем примере принято для удобства; оно не является существенным и можно определять функции на любом конечном отрезке.
3. Пространство Lp – множество функций х (t), определенных при 0 t 1 и интегрируемых по модулю с р -й степенью, если норма определена
Сходимость в такой норме называется сходимостью в среднем. Пространство L 2 называется Гильбертовым, сходимость в нем – среднеквадратичной а норма в таком пространстве называется Гильбертовой.
| Рис. 2.1 |
| хз3з |
| х 2 |
| t |
| х |
| х 1 |
Выбирая метрические пространства, т.е. выбирая множества х и у и определяя в них метрики, мы тем самым уславливаемся, в каких классах функций можно брать начальные данные и искать решение. Поэтому в конкретной задаче выбор пространств должен в первую очередь определяться физическим смыслом задачи, и лишь во вторую – чисто математическими соображениями (таким, например, как возможность доказать сходимость). Например, при расчете прочности самолета нужна равномерная близость приближенного решения к точному, а близость в среднем недостаточна, т.к. перенапряжение в маленьком участке может разрушить конструкцию. А в задаче о нагреве тела потоком тепла даже норма L 1 удовлетворительна, ибо температура тела определяется интегралом потока по времени.
Решения, получаемые численными методами, в силу их приближенности содержат некоторые погрешности. Рассмотрим их источники и типы.
Структура погрешности
Есть четыре источника погрешности результата:
1. математическая модель;
2. исходные данные;
3. приближенный метод;
4. округления при вычислениях.
1. Погрешность математической модели связана с физическими допущениями и от вычислителя не зависит. Такая погрешность называется неустранимой погрешностью.
2. Исходные данные. Они зачастую не точны. Например, они могут быть экспериментально измеренными величинами, а в эксперименте всегда присутствуют погрешности (скажем погрешности в показаниях датчиков).
3. Приближенный метод. Погрешность метода связана с тем, что точные операторы заменяются приближенными. Например, заменяют интеграл – суммой, производную – разностью, функцию – многочленом. Или строят бесконечный итерационный процесс и обрывают его после конечного числа итераций.
Погрешность метода следует выбирать так, чтобы она была в 2-4 раза меньше неустранимой погрешности. Большая погрешность метода снижает точность ответа, а заметно меньшая невыгодна, ибо это обычно требует значительного увеличения объема вычислений.
4. Округления при вычислениях. Вычисления, как на бумаге, так и на ЭВМ проводятся с определенным числом значащих цифр. Это вносит в ответ погрешность округления, которая накапливается в ходе вычислений.
Абсолютная 
и относительная 
погрешности вычисляются так:
Корректность
Определение. Задача у = А (х) называется корректно поставленной, если для любых входных данных х из некоторого класса решение у существует, единственно и устойчиво по входным данным.
Итак, три кита:
1. Существование;
2. Единственность;
3. Устойчивость.
1. Существование. Чтобы численно решать задачу у = А (х), надо быть уверенным в том, что искомое решение существует.
2. Естественно также требовать единственность решения, поскольку всякий процесс в природе – процесс детерминированный. Численный алгоритм – однозначная последовательность действий и поэтому она должна приводить к одному, а не к двум решениям.
3. Устойчивость по входным данным, или непрерывная зависимость решения от входных данных. Это означает, что малые изменения входных данных не должны приводить к большим изменениям решения.