Понятие возрастания, убывания, максимума, минимума функции
Представьте, что нам предстоит путешествие в город, до которого можно добраться разными путями. Сразу откинем кривые петляющие дорожки, и будем рассматривать только прямые магистрали. Однако прямолинейные направления тоже бывают разными: до города можно добраться по ровному автобану. Или по холмистому шоссе – вверх-вниз, вверх-вниз. Другая дорога идёт только в гору, а ещё одна – всё время под уклон. Экстремалы выберут маршрут через ущелье с крутым обрывом и отвесным подъемом.
Но каковы бы ни были ваши предпочтения, желательно знать местность или, по меньшей мере, располагать её топографической картой. А если такая информация отсутствует? Ведь можно выбрать, например, ровный путь, да в результате наткнуться на горнолыжный спуск с весёлыми финтами. Не факт, что навигатор и даже спутниковый снимок дадут достоверные данные. Поэтому неплохо бы формализовать рельеф пути средствами математики.
Рассмотрим некоторую дорогу 
(вид сбоку):
На всякий случай напоминаю элементарный факт: путешествие происходит слева направо. Для простоты полагаем, что функция непрерывна на рассматриваемом участке.
Какие особенности у данного графика?
На интервалах 
функция возрастает, то есть каждое следующее её значение больше предыдущего. Грубо говоря, график идёт снизу вверх (забираемся на горку). А на интервале 
функция убывает – каждое следующее значение меньше предыдущего, и наш график идёт сверху вниз (спускаемся по склону).
Также обратим внимание на особые точки. В точке 
мы достигаем максимума, то есть существует такой участок пути, на котором значение 
будет самым большим (высоким). В точке же 
достигается минимум, и существует такая её окрестность, в которой значение 
самое маленькое (низкое).
Изучим ещё одну важную особенность: на промежутках функция возрастает, но возрастает она с разной скоростью. И первое, что бросается в глаза – на интервале 
график взмывает вверх гораздо более круто, чем на интервале 
. Нельзя ли измерить крутизну дороги с помощью математического инструментария?
Скорость изменения функции
Идея состоит в следующем: возьмём некоторое значение 
(читается «дельта икс»), которое назовём приращением аргумента, и начнём его «примерять» к различным точкам нашего пути:
1) Посмотрим на самую левую точку: минуя расстояние 
, мы поднимаемся по склону на высоту 
(зелёная линия). Величина называется приращением функции, и в данном случае это приращение положительно (разность значений по оси 
– больше нуля). Составим отношение 
, которое и будет мерилом крутизны нашей дороги. Очевидно, что – это вполне конкретное число, и, поскольку оба приращения положительны, то 
.
Внимание! Обозначение являются ЕДИНЫМ символом, то есть нельзя «отрывать» «дельту» от «икса» и рассматривать эти буквы отдельно. Разумеется, комментарий касается и символа приращения функции.
Исследуем природу полученной дроби содержательнее. Пусть изначально мы находимся на высоте 20 метров (в левой чёрной точке). Преодолев расстояние 
метров (левая красная линия), мы окажемся на высоте 60 метров. Тогда приращение функции составит 
метров (зелёная линия) и: 
. Таким образом, на каждом метре этого участка дороги высота увеличивается в среднем на 4 метра …не забыли альпинистское снаряжение? =). Иными словами, построенное отношение характеризует СРЕДНЮЮ СКОРОСТЬ ИЗМЕНЕНИЯ (в данном случае – роста) функции.
Примечание: числовые значения рассматриваемого примера соответствуют пропорциям чертежа лишь приблизительно.
2) Теперь пройдём то же самое расстояние от самой правой чёрной точки. Здесь подъём более пологий, поэтому приращение 
(малиновая линия) относительно невелико, и отношение 
по сравнению с предыдущим случаем будет весьма скромным. Условно говоря, 
метров и скорость роста функции составляет 
. То есть, здесь на каждый метр пути приходится в среднем пол метра подъёма.
3) Маленькое приключение на склоне горы. Посмотрим на верхнюю чёрную точку, расположенную на оси ординат. Предположим, что это отметка 50 метров. Снова преодолеваем расстояние , в результате чего оказываемся ниже – на уровне 30-ти метров. Поскольку осуществлено движение сверху вниз (в «противоход» направлению оси ), то итоговое приращение функции (высоты) будет отрицательным: 
метров (коричневый отрезок на чертеже). И в данном случае речь уже идёт о скорости убывания функции: 
, то есть за каждый метр пути этого участка высота убывает в среднем на 2 метра. Берегите одежду на пятой точке.
Теперь зададимся вопросом: какое значение «измерительного эталона» лучше всего использовать? Совершенно понятно, 10 метров – это весьма грубо. На них запросто уместится добрая дюжина кочек. Да что там кочки, внизу может быть глубокое ущелье, а через несколько метров – другая его сторона с дальнейшим отвесным подъёмом. Таким образом, при десятиметровом мы не получим вразумительной характеристики подобных участков пути посредством отношения 
.
Из проведённого рассуждения следует вывод – чем меньше значение , тем точнее мы опишем рельеф дороги. Более того, справедливы следующие факты:
– Для любой точки подъемов можно подобрать значение (пусть и очень малое), которое умещается в границах того или иного подъёма. А это значит, что соответствующее приращение высоты 
будет гарантированно положительным, и неравенство 
корректно укажет рост функции в каждой точке этих интервалов.
– Аналогично, для любой точки склона существует значение , которое полностью уместится на этом склоне. Следовательно, соответствующее приращение высоты однозначно отрицательно, и неравенство 
корректно покажет убыль функции в каждой точке данного интервала.
– Особо интересен случай, когда скорость изменения функции равна нулю: 
. Во-первых, нулевое приращение высоты (
) – признак ровного пути. А во-вторых, есть другие любопытные ситуации, примеры которых вы видите на рисунке. Представьте, что судьба завела нас на самую вершину холма с парящими орлами или дно оврага с квакающими лягушками. Если сделать небольшой шажок в любую сторону, то изменение высоты будет ничтожно мало, и можно сказать, что скорость изменения функции фактически нулевая. В точках 
наблюдается именно такая картина.
Таким образом, мы подобрались к удивительной возможности идеально точно охарактеризовать скорость изменения функции. Ведь математический анализ позволяет устремить приращение аргумента к нулю: 
, то есть сделать его бесконечно малым.
По итогу возникает ещё один закономерный вопрос: можно ли для дороги и её графика найти другую функцию, которая сообщала бы нам обо всех ровных участках, подъёмах, спусках, вершинах, низинах, а также о скорости роста/убывания в каждой точке пути?